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珠海四中2020高三数学（理）专题复习-数列一、选择题:1（湛江2020高考一模）若等差数列和等比数列满足则 A5 B16 C80 D1602（2020茂名一模）设是等差数列,若则数列前8项和为（ ）A128 B.80 C.64 D.563（中山一中等七校2020高三第二次联考）已知等差数列的前项和为,且,则该数列的公差( )A B C D4（珠海一中等六校2020高三第三次联考）若一个等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且所有项的和为99，则这个数列有（ ） A.9项B.12项C.15项D.18项5（惠州市2020届高三第三次调研考）设等比数列的公比，前项和为，则（ ）. . . . 6如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）ABCD二、填空题:7. （2020广东高考）在等差数列中,已知,则_.8. （2020广东高考）已知递增的等差数列满足，则_.9（2020广东高考）等差数列前9项的和等于前4项的和若，则 10（肇庆2020高三上期末）若等比数列满足，则 三、解答题11、（2020广东高考）设数列的前项和为.已知,.() 求的值；() 求数列的通项公式；() 证明:对一切正整数,有.12、（2020广东高考）设数列的前项和为，满足，且、成等差数列.（）求的值；（）求数列的通项公式；（）证明：对一切正整数，有.13、（2020江门一模）已知数列的首项，求数列的通项公式；求证：，14、（广州市2020届高三1月调研测试）已知数列an满足，（1）求证：数列为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数，使，成等差数列，且， 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，；如果不存在，请说明理由15. （2020湛江一模）已知正数数列中，前项和为，对任意，、成等差数列。(1) 求和；(2) 设，数列的前项和为，当时，证明：。16、（2020深圳一模）已知数列的前项和为，且满足（1）求，的值；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求证：答案1、C2、C3、B4、D5、C6、B7、208、9、1010、811、() 依题意,又,所以； () 当时, 两式相减得 整理得,即,又 故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以. () 当时,；当时,； 当时, 此时综上,对一切正整数,有.12、解析：（）由，解得.（）由可得（），两式相减，可得，即，即，所以数列（）是一个以为首项，3为公比的等比数列.由可得，所以，即（），当时，也满足该式子，所以数列的通项公式是.（）因为，所以，所以，于是.下面给出其它证法.当时，；当时，；当时，.当时，所以. 综上所述，命题获证.下面再给出的两个证法.法1：（数学归纳法）当时，左边，右边，命题成立.假设当（，）时成立，即成立.为了证明当时命题也成立，我们首先证明不等式：（，）.要证，只需证，只需证，只需证，只需证，该式子明显成立，所以.于是当时，所以命题在时也成立.综合，由数学归纳法可得，对一切正整数，有.备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识.法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供）当时，显然成立.当时，显然成立.当时，又因为，所以（），所以（），所以. 综上所述，命题获证.13、由，得1分，2分所以是首项，公差的等差数列3分4分，所以，5分（方法一）6分，7分时，由以上不等式得9分10分，11分因为是递增数列，所以，12分14、解：（1）因为，所以所以因为，则所以数列是首项为，公比为的等比数列（2）由（1）知，所以假设存在互不相等的正整数，满足条件，则有由与，得即因为，所以因为，当且仅当时等号成立，这与，互不相等矛盾所以不存在互不相等的正整数，满足条件15、解：（1）依题意：， 即 ，.当时，代入并整理得:，把以上个式子相乘得： ， 又当时，也满足上式，所以（2） ， ， 又 。16解：（1）当时，有，解得当时，有，解得（2）（法一）当时，有, 得：，即：5分 另解： 又当时，有， （法二）根据，猜想：用数学归纳法证明如下： （）当时，有，猜想成立 （）假设当时，猜想也成立，即：那么当时，有，即：，又 ， -得：，解，得 当时，猜想也成立 因此，由数学归纳法证得成立（3），
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