陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 简单线性规划教案1 北师大版必修5

4.2 简单线性规划（1）教学目标：1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2.能根据条件建立线性目标函数；3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.教学过程：（一）复习练习：画出下列不等式表示的平面区域：（1）； （2）（二）新课讲解：在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： .（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品件，乙产品件时，工厂获得的利润为,则，这样，上述问题就转化为：当满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。（5）获得结果：由图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点时，截距的值最大，最大值为，这时.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。2、有关概念在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数。又由于是的一次解析式，所以又叫线性目标函数. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.（三）例题分析：例1：设满足约束条件 （1）求目标函数的最小值与最大值 （2）求目标函数的最小值与最大值解：（1）作出可行域（如图） 令作直线 当把直线向下移动时所对应的的函数值随之减小，所以直线经过可行域的顶点时，取得最小值，顶点是直线与直线的交点，即当把直线向上移动时所对应的的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点时，取得最大值，顶点是直线与直线的交点，由知，此时顶点和顶点为最优解所以，（2）作直线，把直线向下平移时，所对应的的函数值随之减小，即的函数值随之减小，当直线经过可行域顶点时，取得最小值，即取得最小值 顶点是直线与直线的交点，由知 代入目标函数知由于直线平行于直线，因此当把直线向上平移到时，与可行域的交点不止一个，而是线段上的所有点，此时，练习：设变量满足条件，（1）求的最大值和最小值.（2）求的最大值和最小值.解：（1）由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点不在公共区域内，当时，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以， （2）直线与所在直线平行，则由（1）知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，说明：1线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； 2线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个。例2设满足约束条件组，求的最大值和最小值.解：由知，代入中，得， 原约束条件组可化为，如图，作一组平行线：平行于：，由图象知，当往左上方时，往左上方移动时随之增大，当往右下方移动时，随之减小，所以，当直线经过时，； 当直线经过时，例3（参考）已知满足不等式组，求使取最大值的整数解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得， ；当时，得或， 或；当时， ，故的最大整数解为或说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有相应整数值，即先固定，再用制约课堂小结：1线性规划问题的有关概念；2线性规划问题的图解法求目标函数的最大、最小值；3线性规划问题的最优整数解.作业：课本第108页A组 第6题.