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基础过关第3课时 线性规划分2线性规划 基本概念名 称意 义线性约束条件由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x、y的约束条件目标函数关于x、y的解析式如：z2xy，zx2y2等线性目标函数关于x、y的一次解析式可行解满足线性约束条件x、y的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： 设出所求的未知数； 列出约束条件(即不等式组)； 建立目标函数； 作出可行域和目标函数的等值线； 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解（有些实际问题应注意其整解性）典型例题例1. 若ABC的三个顶点为A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，写出ABC区域（含边界）表示的二元一次不等式组解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB：x2y10，BC：xy20，CA：2xy50结合区域图易得不等式组为变式训练1： ABC的三个顶点为A(2，4)、B(1，2)、C(1，0)，则ABC的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为 ACyxB例2. 已知x、y满足约束条件 分别求： z2xy z4x3y zx2+y2的最大值、最小值？解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分其中A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)x0A(1,0)C( , )B(0,1)y解：(1)由taxy得yaxt要使t取得最小时的(x，y)有无穷多个，则yaxt与AC重合akAC(2)由KAC a KBC 得 a.例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则：xy(0,800)M(350,100)(0,200)O 即 则z6x10y作出可行域如图由 得 即M(350，100)由图可知，当直线l：6x10y0平移到经过点M(350，100)时，z6x10y最大，即当x350，y100时，z6x10y最大变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2和3m2，用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可造甲、乙两种产品各6个问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积)最小解：设A种取x块，B种取y块，总用料为z m2，则AxylO515 z2x3y (x、yN)可行域如图：最优解为A(5，5)，x5，y5时，zmin25，即A、B两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料(面积)最省为25m2例4. 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？设桌椅分别买x、y张，由题意得： 由 解得： 点A(，)由 解得 点B(25，)满足以上不等式组表示的区域是以A、B、O为顶点的AOB及内部设xyz，即yxz；当直线过点B时，即x25，y，z最大 yz，y37买桌子25张，椅子37张是最优选择变式训练4：A1、A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B1、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A1的煤运到B1、B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A2的煤运到B1、B2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？xyA(8, 12)l1O102018解：设A1运到B1 x万吨，A2运到B1 y万吨，总运费为z万元，则A1运到B2(8x)万吨，A2运到B2(18y)万吨，z3x5(8x)7y8(18y) 1842xy，x、y满足可行域如图阴影部分当x8时，y12时，zmin156即A1的8万吨煤全运到B1，A2运到12万吨运到B1，剩余6万吨运到B2，这时总运费最少为156万元小结归纳1二元一次不等式或不等式组表示的平面区域： 直线确定边界； 特殊点确定区域2线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法3把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束4解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查
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