福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 数列的综合应用教案 文

福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 数列的综合应用教案 文1.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题.2.数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等.3.解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到原实际问题中.4.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则ba.难点正本疑点清源1.用函数的观点理解等差数列、等比数列(1)对于等差数列，由ana1(n1)ddn(a1d)，当d0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点.当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d0，q1或a10,0q0,0q1或a11时，等比数列an是递减数列.当q1时，是一个常数列.当q1，公比q0，设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an；(3)试比较an与Sn的大小.探究提高在解决等差数列和等比数列综合题时，恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度和准确度，如本例中就合理地应用了等差中项. 已知数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1 (n2，q0).(1)设bnan1an (nN*)，证明：bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*，an是an3与an6的等差中项.题型二数列与函数的综合应用例2已知函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足f(2an)2n (nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的单调性.探究提高本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查学生的逻辑分析能力. 已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1x)f(1x)，直线g(x)4(x1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为4，数列an满足a12，(an1an)g(an)f(an)0 (nN*).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求数列an的通项公式；(3)设bn3f(an)g(an1)，求数列bn的最值及相应的n.题型三数列与不等式的综合应用例3已知数列an，bn满足a1，anbn1，bn1.(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求数列bn的通项公式；(3)设Sna1a2a2a3anan1，求实数a为何值时，4aSnbn.探究提高由anbn1得到an的表达式，然后利用裂项相消法求得Sn，将4aSnbn转化为(a1)n2(3a6)n81及a1三种情况进行分类讨论，从而求得使不等式成立的a的取值范围. 已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f，nN*，(1)求数列an的通项公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn；(3)令bn (n2)，b13，Snb1b2bn，若Sn对一切nN*成立，求最小正整数m.题型四数列的实际应用例4某市2020年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2020年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)探究提高解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现. 从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2020年投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(2020年为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(参考数据：lg 20.301 0)15.用构造新数列的思想解题试题：(12分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn1 (n2).(1)求数列an的通项公式an；(2)求证：SSS.审题视角(1)从求证内容来看，首先要求出Sn.(2)从Sn与Sn1的递推关系看，可考虑构造新数列.(3)可考虑用放缩法证明.规范解答(1)解an2SnSn1 (n2)，SnSn12SnSn1.两边同除以SnSn1，得2 (n2)，2分数列是以2为首项，以d2为公差的等差数列，3分(n1)d22(n1)2n，Sn.5分将Sn代入an2SnSn1，得an6分(2)证明S (n2)，S，当n2时，SSS；10分当n1时，S.综上，SSS.12分批阅笔记(1)在数列的解题过程中，常常要构造新数列，使新数列成为等差或等比数列.构造新数列可以使题目变得简单，而构造新数列要抓住题目信息，不能乱变形.(2)本题首先要构造新数列，其次应用放缩法，并且发现只有应用放缩法才能用裂项相消法求和，从而把问题解决.事实上：0，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n_.三、解答题7.已知单调递增的等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n150成立的最小正整数n的值.8.某人有人民币1万元，若存入银行，年利率为6%；若购买某种股票，年分红利为24%，每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.(1)问买股票多少年后，所得红利才能和原来的投资款相等？(2)经过多少年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等？(精确到整年)(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1.060.025 3)B组专项能力提升题组一、选择题1.an是等差数列，a28，S10185，从an中依次取出第3项，第9项，第27项，第3n项，按原来的顺序排成一个新数列bn，则bn等于 ()A.3n12 B.3n12C.3n2 D.3n22.已知数列an的通项公式为anlog2 (nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n ()A.有最小值63 B.有最大值63C.有最小值31 D.有最大值313.已知数列an满足3an1an4 (nN*)且a19，其前n项和为Sn，则满足不等式|Snn6|0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn (nN*)，Snb1b2bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.答案题型分类深度剖析例1(1)证明bnlog2an，bn1bnlog2log2q为常数，数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)Snan25n (nN*)(3)解显然an25n0，当n9时，Sn0，n9时，anSn.a116，a28，a34，a42，a51，a6，a7，a8，S14，S27，S39，S410，S510，S69，S77，S84，当n3,4,5,6,7,8时，anSn.变式训练1(1)证明由题设an1(1q)anqan1 (n2)，得an1anq(anan1)，即bnqbn1，n2.由b1a2a11，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列.(2)an(3)解由(2)，当q1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1.由a3a6a9a3可得q5q2q2q8，由q0得q311q6，整理得(q3)2q320，解得q32或q31(舍去).于是q.另一方面，anan3(q31)，an6an(1q6).由可得anan3an6an，即2anan3an6，nN*.所以对任意的nN*，an是an3与an6的等差中项.例2解(1)由已知得log22an2n，an2n，即a2nan10.ann.0x1，02an1，an0.ann.(2)1，又anan，an是递增数列.变式训练2(1)f(x)(x1)2(2)ann11(3)解bn3(an1)24(an11)，令bny，un1，则y332.nN*，u的值分别为1，经比较距最近，当n3时，bn有最小值是，当n1时，bn有最大值是0.例3(1)b1，b2，b3，b4(2)bn(3)解an1bn，Sna1a2a2a3anan1.4aSnbn.由条件可知(a1)n2(3a6)n80在1，)上恒成立即可满足条件.设f(x)(a1)x23(a2)x8，则a1时，f(x)3x81时，由二次函数的性质知不可能成立；a1时，对称轴x0.f(x)在1，)上为单调递减函数.f(1)(a1)(3a6)84a150.a，a1时，4aSnbn恒成立.综上知，a1时，4aSn0.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85.当n5时，a50.85b6，满足上述不等式的最小正整数n为6.到2020年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.变式训练4(1)an4 000，bn1 600(2)解设经过n年，旅游业的总收入超过总投入，由此bnan0，即1 6004 0000，令xn，代入上式得5x27x20，解此不等式，得x1(舍去)，即n50成立，即(n1)2n12n2n150，即2n26.241626，且y2x是单调递增函数，满足条件的n的最小值为5.8.解设该人将1万元购买股票，x年后所得的总红利为y万元，则y24%24%(16%)24%(16%)224%(16%)x124%(11.061.0621.06x1)4(1.06x1).(1)由题意，得4(1.06x1)1，1.06x.两边取常用对数，得xlg 1.06lg lg 5lg 413lg 2.x4.(2)由题意，得4(1.06x1)(16%)x，1.06x.解得x5.答(1)买股票4年后所得的红利才能和原来的投资款相等；(2)经过大约5年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等.B组1.A2.A3.C4.2 0005.6.2n127.(1)an，nN*(2)Snn2n18.解(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.a11，解得d2，d0(舍).an2n1 (nN*).(2)bn，Snb1b2bn.假设存在整数t满足Sn总成立，又Sn1Sn0，数列Sn是单调递增的.S1为Sn的最小值，故，即t9.又tZ，适合条件的t的最大值为8.