湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习 探索性问题

湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：探索性问题高考要求 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题重难点归纳 如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题 条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征 解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法 （1）直接求解；（2）观察猜测证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊一般特殊 典型题例示范讲解 例1已知函数(a,cR,a0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1) （1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由 命题意图 本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力 知识依托 函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题 错解分析 不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解 技巧与方法 充分利用题设条件是解题关键 本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证解 （1）f(x)是奇函数f(x)=f(x)，即bx+c=bxcc=0f(x)=由a0，b是自然数得当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0f(x)的最大值在x0时取得 x0时，当且仅当即时，f(x)有最大值=1,a=b2 又f(1)，,5b2a+2 把代入得2b25b+20解得b2又bN,b=1,a=1,f(x)=（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，P(x0,y0)则Q（2x0,y0)，,消去y0，得x022x01=0解之，得x0=1,P点坐标为()或()进而相应Q点坐标为Q（）或Q() 过P、Q的直线l的方程 x4y1=0即为所求 例2如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且AB=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段 （1）建立适当的平面直角坐标系，求AMN的外心C的轨迹E；（2）接上问，当AMN的外心C在E上什么位置时，d+BC最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离） 命题意图 本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力 知识依托 求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程 错解分析 建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，第二问中确定C点位置需要一番分析 技巧与方法 本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目 解 （1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系 设AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（xp,0)，N(x+p,0)，由题意，有CA=CM,化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线 （2）由（1）得，直线c恰为轨迹E的准线 由抛物线的定义知d=CF，其中F（0,）是抛物线的焦点 d+BC=CF+BC由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为联立方程组得 即C点坐标为() 此时d+BC的最小值为BF= 例3已知三个向量、，其中每两个之间的夹角为120，若=3,=2,=1，则用、表示为 解析 如图与，的夹角为60,且|=|=3 由平行四边形关系可得=3+,=3 答案 =3 例4 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？2 解析 飞机成功飞行的概率分别为 4引擎飞机为 2引擎飞机为 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有 6P2（1P）2+4P2（1P）+P42P(1P)+P2,解得P 即当引擎不出故障的概率不小于时，4引擎飞机比2引擎飞机安全 学生巩固练习 1 已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题，其中正确命题是( )lm lm lm lmA 与 B 与 C 与 D 与2 某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票 现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( )A 7张 B 8张 C 9张 D 10张3 观察sin220+cos250+sin20cos50=,sin215+cos245+sin15cos45=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 4 在四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E （1）使PED=90；（2）使PED为锐角 证明你的结论 5 已知非零复数z1,z2满足z1=a,z2=b,z1+z2=c（a、b、c均大于零），问是否根据上述条件求出？请说明理由 参考答案 1 解析 l且l,mlm 且ll,但不能推出lm lm,lm,由m lm,不能推出 答案 B2 解析 选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张 故8张 答案 B3 解析 由5020=(4515)=30可得sin2+cos2(+30)+sincos(+30)= 答案 sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=4 解 (1)当ABAD时，边BC上存在点E，使PED=90;当ABAD时，使PED=90的点E不存在 （只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）（2）边BC上总存在一点，使PED为锐角，点B就是其中一点 连接BD，作AFBD，垂足为F，连PF，PA面ABCD，PFBD，又ABD为直角三角形，F点在BD上，PBF是锐角 同理，点C也是其中一点 5 解 |z1+z2|2=(z1+z2)(+)=|z1|2+|z2|2+(z1+z2)c2=a2+b2+(z1+z2)即 z1+z2=c2a2b2z10,z20，z1+z2= =|z2|2()+|z1|2()即有 b2()+a2()=z1z2+z1z2 b2()+a2()=c2a2b2a2()2+(a2+b2c2)()+b2=0这是关于的一元二次方程，解此方程即得的值