质点系 动量课件

质点系质点系 动量动量第四章第四章 质点系质点系 动量动量一一 、质心、质心 质点系的牛顿第二定律质点系的牛顿第二定律二、质点二、质点（线）（线）动量动量、（线）、（线）冲量、动量定理冲量、动量定理三、三、 质点系的动量定理、动量守恒定律及其应用质点系的动量定理、动量守恒定律及其应用四、碰撞四、碰撞 质点系质点系 动量动量 一个特殊的点一个特殊的点 上述物体的运动是一个平动和转动的合成。一、质心一、质心 质点系质点系 动量动量转动和平动的合成 上述二个例子中，物体上总有一点的运动是纯平动，这个特殊的点是物体的质心。物体的运动，可以看做物体的运动，可以看做物体质心的运动物体质心的运动 物体相对质心的运动。物体相对质心的运动。 质点系质点系 动量动量什么是质心什么是质心(Center of mass)(Center of mass)？ 物质系统按质量分布的加权平均中心。物质系统按质量分布的加权平均中心。 引入质心后，物体或物体系的运动相当于所有质引入质心后，物体或物体系的运动相当于所有质量都集中在质心，所有外力都作用于质心时的运动。量都集中在质心，所有外力都作用于质心时的运动。如何确定质心位置如何确定质心位置（坐标）？（坐标）？ 两个质点系统的质心两个质点系统的质心 m m1 1和和m m2 2的位置分别为的位置分别为x x1 1和和x x2 2，质心位置的定义为：，质心位置的定义为：Mxmxmmmxmxmxcom2211212211M M = = m m1 1+ +m m2 2 -系统的总质量系统的总质量 质点系质点系 动量动量三维的情形：niiicomxmMx11niiicomzmMz11niiicomymMy11推广到n个质点的情形个质点的情形： niiinnncomxmMmmmxmxmxmx12122111用位置矢量来表示质心：niiicomrmMr11kzjyixriiiikzjyixrcomcomcomcom质心的位矢：ccr 质点系质点系 动量动量连续实体的质心位置连续实体的质心位置 将质点换成质量元将质点换成质量元d dm m，下面的累加，下面的累加变为积分形式变为积分形式niiicomxmMx11niiicomzmMz11niiicomymMy11mdxMxcom1zdmMzcom1ydmMycom1 对体积为V的均匀物体，密度为= dm/dV = M/V，即dm = (M/V)dV，于是xdVVxcom1zdVVzcom1ydVVycom11)1)坐标系的选择不同，质心的坐标也不同；但质心相对位置与坐坐标系的选择不同，质心的坐标也不同；但质心相对位置与坐标系选择无关；标系选择无关；2)2)对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处3)3)质心不一定在物体上。质心不一定在物体上。 质点系质点系 动量动量lllm1m2m3m1=m2=m3=mxy6/330*0*2/3*3)2/(*)2/(*0*321321lmmmlmymlmlmmxcclllm1m2m3m1 m2 m3xy1231212312*0*(/2)*( /2)* 3 /2*0*0ccmmlmlxmmmmlmmymmm例如：例如： 质点系质点系 动量动量例题例题1 1计算质心位置计算质心位置）杆长为）杆长为L L，线密度为，线密度为 ，为离杆一端的，为离杆一端的距离，为常量，求杆质距离，为常量，求杆质心坐标。（心坐标。（x xc c=2/3L=2/3L）2) 2) 均质圆环的质心均质圆环的质心) ) 半圆环的质心，线密度为半圆环的质心，线密度为 4) 4) 均质圆盘的质心均质圆盘的质心5) 5) 半圆盘的质心，面密度为半圆盘的质心，面密度为 质点系质点系 动量动量例例2 很薄的条状材料被弯曲成半径为很薄的条状材料被弯曲成半径为 R 的半圆，的半圆，求其质心。求其质心。解：解：带子是沿着带子是沿着y轴对称的，轴对称的， 因此有：因此有：0cxdMRMydmMycm0sin11一个小质量元一个小质量元dm可表示为可表示为 RRdR637. 02sin0RdRMdldmxy0dmcmyydmMycm1sinRy 质点系质点系 动量动量xyC xDR例例3 3一个半径为一个半径为2R2R圆金属盘，其中一个半径为圆金属盘，其中一个半径为R R的圆的圆盘已经被移掉了。盘已经被移掉了。 求：金属盘的质心求：金属盘的质心 (x) (x) 。RRRRRxmmxDxDx31)()2()(222xDxxDDcmmxmxmx 0完整大圆盘的质心完整大圆盘的质心?解：解：由于圆盘绕由于圆盘绕x x轴对称，质轴对称，质心一定在心一定在x x轴上。轴上。如果园孔被如果园孔被半径为半径为R R的相同金属填满，合的相同金属填满，合成金属盘的质心在坐标轴的原成金属盘的质心在坐标轴的原点上。点上。 质点系质点系 动量动量二、质点系的牛顿第二定律二、质点系的牛顿第二定律(质心运动定律质心运动定律)ccrMrmrniiic1质心位置质心位置r rc c质心速度质心速度V Vc cMvmMdtrdmdtrdvniiiniiicc11质心加速度质心加速度a ac cMamaniiic1 质点系质点系 动量动量将牛顿第二定律应用于质点系，可以得到：将牛顿第二定律应用于质点系，可以得到：comaMFxcom,xMaF ycom,yMaF zcom,zMaF 上式中上式中 是作用在系统上的所有外力；是作用在系统上的所有外力；M M 是系统是系统的总质量；的总质量； 是系统质心的加速度。是系统质心的加速度。 写成写成x, y, z x, y, z 三个分量的形式：三个分量的形式： Fcoma 质点系质点系 动量动量质心运动定律：质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。统的总质量与系统质心加速度的乘积。 它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相当于它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相当于系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力的作用下，质心以加速度用下，质心以加速度 a ac c 运动。合外力等效于作用运动。合外力等效于作用在质心上。在质心上。comaMF 质点系质点系 动量动量公式公式 的证明：的证明：对对n n个质点的系统，根据前面有：个质点的系统，根据前面有：comaMFniiicommM1r1rnn332211rmrmrmrmrM comnn332211amamamamaM com将上式对将上式对 t t 求二次导数，得到求二次导数，得到各质点上所受的力为：各质点上所受的力为：n,.3 , 2 , 1i ,amFiii合FFFFFaMn321 com 质点系质点系 动量动量 三、三、线线动量动量 ( (LinearLinear momentum) momentum) momentum的定义：的定义： 单位：单位：kgm/smp 即：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量即：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量 动量是矢量，大小为动量是矢量，大小为 mvmv，方向就是速度的方向；，方向就是速度的方向；表征了物体的运动状态表征了物体的运动状态, , 是个瞬时量。是个瞬时量。 质点系的质点系的线线动量动量 对于质点系，系统的总动量定义为各个质点的动量对于质点系，系统的总动量定义为各个质点的动量之矢量和：之矢量和：123112233PnnncomppppmmmmM 结论：结论：系统内各质点的动量的矢量和等于系统质系统内各质点的动量的矢量和等于系统质 心的速度与系统质量的乘积心的速度与系统质量的乘积 质点系质点系 动量动量netdpFdt牛顿第二定律可以表示为：牛顿第二定律可以表示为：dPcomcomnetdMM aFdtdtcomvMP即：合力的瞬时作用等于动量在该时刻的变化率即：合力的瞬时作用等于动量在该时刻的变化率 质点系质点系 动量动量四、冲量四、冲量(Impluse) 动量定理动量定理d=dpFtd=( )dpFtt F从从t1时刻作用到时刻作用到t2时刻，动量的增量为时刻，动量的增量为dp对时间的对时间的积分，从积分，从t1 积分到积分到 t2定义: 称为冲量冲量若质点受恒力，在若质点受恒力，在 t t时间内所受的冲量为：时间内所受的冲量为：tFJ 即：即：物体动量的改变物体动量的改变 dp 不仅取决于相互作用力不仅取决于相互作用力 F 的大小，还依赖于力所作用的时间的大小，还依赖于力所作用的时间 dt。将牛顿定律表示为：将牛顿定律表示为：则则dttFJtt)(21dttFpdpttpp)(2121 质点系质点系 动量动量说明：说明：冲量冲量dttFJtt)(21冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；冲量是矢量、过程量冲量是矢量、过程量冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同动量增量的方向相同 质点系质点系 动量动量动量定理动量定理F F是作用在质点上的所有合外力在是作用在质点上的所有合外力在t t1 1t t2 2时间内的通式。时间内的通式。( )d =fittF ttJifppp动量定理的分量表示动量定理的分量表示动量定理的成立条件动量定理的成立条件惯性系。惯性系。 fxixxxfyiyyyfzizzzpppJpppJpppJ 动量定理说明质点动量定理说明质点动量的改变动量的改变是由外力和是由外力和外力作用时间两个因素，即外力作用时间两个因素，即冲量决定冲量决定的的 质点系质点系 动量动量冲量的图示：冲量的图示：tFF(t)avF1t2t0利用动量定理计算平均冲力利用动量定理计算平均冲力 tPF 利用冲力：减小作用时间利用冲力：减小作用时间冲床冲床避免冲力：增大作用时间避免冲力：增大作用时间 轮船靠岸时的缓冲轮船靠岸时的缓冲 在力作为时间的函数图在力作为时间的函数图F(t)F(t)中中, ,冲量就代表冲量就代表F(t)F(t)曲线下面的面积曲线下面的面积。dttFJtt)(21 质点系质点系 动量动量作作 业业1， 3， 9， 13， 17 质点系质点系 动量动量mdxMxcom1zdmMzcom1ydmMycom11 1质心的计算质心的计算回顾：回顾：niiicomxmMx11niiicomzmMz11niiicomymMy11niiicomrmMr11物体质量均匀，且形状具有对称性时可简化计算物体质量均匀，且形状具有对称性时可简化计算2 2质心运动定律质心运动定律comaMFMvmvniiic1Mamaniiic1 质点系质点系 动量动量3 3 动量、冲量、动量定理动量、冲量、动量定理mp 状态量状态量, , 是是瞬时瞬时矢量矢量。 单个物体动量：单个物体动量： 质点系总动量：质点系总动量： cominivM1impnetdpFdt冲量冲量dttFJtt)(21定理可以采用分量式表示，定理可以采用分量式表示，只可用于惯性系只可用于惯性系质点质点动量的改变动量的改变是由是由冲量，也冲量，也即外即外力和外力作用时间两个因素力和外力作用时间两个因素决定决定的的动量定理：动量定理：J=P 是力的持续作用效果，是力的持续作用效果，矢量、过程量，方向与矢量、过程量，方向与p相同相同 质点系质点系 动量动量Nx=0= 0.20 + 0.02 = 0.22 ( N )Nmgcosty=+2mvaNmvmv sintx=sinaaN)mvmvmgcosty=()(cosaaYXNxvava 例例1 一小球与地面碰撞一小球与地面碰撞 3-1m=2 10kgvv=600,=5.0m s.碰撞时间碰撞时间求求: :平均冲力。平均冲力。0.05st =amgNyN（向上）（向上） 质点系质点系 动量动量例例2 质量质量m1=0.24kg的小车在光滑水平面上以初速度的小车在光滑水平面上以初速度0.17m/s做直线运动。忽然它与一辆静止的质量做直线运动。忽然它与一辆静止的质量m2=0.68kg的小车相撞。第一辆车装有对其他物体施加的小车相撞。第一辆车装有对其他物体施加力的大小的监测器。测得力随时间的变化如图所示。力的大小的监测器。测得力随时间的变化如图所示。求：碰撞后每辆车的速度。求：碰撞后每辆车的速度。48122410F(N)T(ms)68解：由图上曲线的积分可以求得曲线下的面积，即冲解：由图上曲线的积分可以求得曲线下的面积，即冲量量J，然后由，然后由 J 等于动量变化，分别求出二辆车的速度等于动量变化，分别求出二辆车的速度大小及方向。大小及方向。 J = (1110)/2 =5510-3 kgm/s p1=-J, p2=Jp1f = m11+ p1= m11-J = -0.014kgm/sp2f = 0+ p2 = +0.055kgm/s1f = p1f/m1= -0.058m/s2f = p2f/m2 = +0.081m/s 质点系质点系 动量动量oocos35(0.14kg)(50m/s)cos35 =5.7kgm/sfxfpm例例3 3 质量为质量为0.14 kg0.14 kg的棒球以的棒球以42m/s42m/s的速度水平前进，用的速度水平前进，用球拍击打它，球拍打后棒球运动方向为与球拍击打它，球拍打后棒球运动方向为与水平方向成水平方向成3535o o角角，速度为，速度为50m/s50m/s(a)(a)标出球所受到的冲力方向。标出球所受到的冲力方向。(b)(b)如果撞击持续如果撞击持续1.5 ms1.5 ms，平均，平均 冲力是多少？冲力是多少？(c)(c)求球拍的动量的变化？求球拍的动量的变化？解：初始球的动量沿水平解：初始球的动量沿水平- -x x方向方向打击后，球沿打击后，球沿x x方向以方向以3535o o角运动，其动量的二分量为：角运动，其动量的二分量为：(0.14kg)(42m/s)=5.9kgm/sixipm ooysin35(0.14kg)(50m/s)sin35 =4.0kgm/sffpmipfypfxpfp 质点系质点系 动量动量(1) 冲力方向：与冲力方向：与x轴夹角轴夹角1otan (/)19yxJJ(2) 平均平均冲力：冲力：av/12.3/0.0015kgm8200NFJt (3) 球拍的动量变化球拍的动量变化 bat(-)(5.7+5.9)kgm/s= 11.6kgm/sxxfxixJJpp bat4.0kgm/syyfyJJp ipfypfxpfpfpipJ冲量的二分量为冲量的二分量为-(5.7+5.9)kgm/s=11.6kgm/sxfxixJpp-04.0kgm/syfyJp2212.3kgm/sxxyJJJ 质点系质点系 动量动量五、质点系的动量定理五、质点系的动量定理1、两个质点的情况、两个质点的情况2022122121011111211010vmvmdtFFvmvmdtFFtttt)()(2021012121112112211010vmvmvmvmdtFFdtFFtttt2112FF)()(2021012121112110vmvmvmvmdtFFtt作用在两质点组成的系统的合外力的冲量，等于系统内两作用在两质点组成的系统的合外力的冲量，等于系统内两质点动量之和的增量，即系统动量的增量。质点动量之和的增量，即系统动量的增量。0110vmvmPdtFtt 质点系质点系 动量动量niiiniiittniittniivmvmdtFdtF1011111010内外2、多个质点的情况、多个质点的情况iFjFijFjiF0jiijFFniiF00内niiiniiittvmvmdtF101110外力质点系的动量定理：质点系的动量定理：作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量 质点系质点系 动量动量牛顿定律牛顿定律动量定理动量定理力的效果力的效果 力的力的瞬时瞬时效果效果力对时间的力对时间的积累积累效果效果关系关系牛顿定律是动量定理牛顿定律是动量定理的的微分微分形式形式动量定理是牛顿定律的动量定理是牛顿定律的积分积分形式形式适用对象适用对象 质点质点质点、质点、质点系质点系适用范围适用范围 惯性系惯性系惯性系惯性系解题分析解题分析必须研究必须研究质点在每时质点在每时刻刻的运动情况的运动情况只需研究质点（系）只需研究质点（系）始始末两状态末两状态的变化的变化amFdtFPd 质点系质点系 动量动量(线线)动量守恒定律动量守恒定律(Conservation of momentum)(Conservation of momentum)当系统所受合外力为零时，即当系统所受合外力为零时，即F外外=0时，系统的动量的增量时，系统的动量的增量为零，即系统的总动量保持不变为零，即系统的总动量保持不变PvmvmdtFniiiniiitt101110外力0外力F0P动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向为零时）动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向为零时） 如果系统是孤立（合外力为零）和封闭（没有如果系统是孤立（合外力为零）和封闭（没有和外界的质点交换）的，则和外界的质点交换）的，则const niiivmP1 0 zF zizizCvmp0 yF yiyiyCvmP xixixCvmP0 xF 质点系质点系 动量动量说明说明守恒的意义：守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，而不是指某一个质点的动量不变。而不是指某一个质点的动量不变。守恒的条件：守恒的条件：系统所受的合外力为零。系统所受的合外力为零。 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）可忽略外力（外力与内力相比小很多） - 近似守恒条件近似守恒条件。内力的作用：内力的作用：不改变系统的总动量，但可以引起系统内动不改变系统的总动量，但可以引起系统内动量分布的变化量分布的变化动量守恒定律动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 虽然是由牛顿定律导出，但是比牛顿定律更普遍。虽然是由牛顿定律导出，但是比牛顿定律更普遍。 质点系质点系 动量动量如炮身的反冲：如炮身的反冲： 设炮车以仰角a发射炮弹。 炮身和炮弹的质量分别为m0和m， 炮弹在出口处相对炮身的速率为v，试求炮身的反冲速率？ （设地面的摩擦力可以忽略）解题步骤：解题步骤：1选好系统，分析要研究的物理过程；选好系统，分析要研究的物理过程；2进行受力分析，判断守恒条件；进行受力分析，判断守恒条件；3确定系统的初动量与末动量；确定系统的初动量与末动量；4建立坐标系，列方程求解；建立坐标系，列方程求解；5必要时进行讨论。必要时进行讨论。注意：注意： 动量守恒是相对于同一个惯性系而言的，动量守恒是相对于同一个惯性系而言的， 因此所有的物理因此所有的物理量都要转化为同一个惯性系里的量。量都要转化为同一个惯性系里的量。00vmVm0)cos(0VVmVma 质点系质点系 动量动量例题例题1 1：水平光滑铁轨上有一车，长度为：水平光滑铁轨上有一车，长度为l l，质量为，质量为m m2 2，车的一端有一人（包括所，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为骑自行车），质量为m m1 1，人和车原来都，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？时，人、车各移动了多少距离？ 解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。02211vmvm0)(22211vmvvmvmmmv2112dtvs22dtvmmm211lmmm21121slslmmmlmmml212211 质点系质点系 动量动量例例2 2一个质量为一个质量为9.8kg9.8kg的射弹从和地面成的射弹从和地面成5454o o角的方向角的方向以以12.4m/s12.4m/s的速度向上发射，一段时间后，子弹爆炸成的速度向上发射，一段时间后，子弹爆炸成两份，其中一份质量为两份，其中一份质量为6.5kg6.5kg，它在时间，它在时间1.42s1.42s时的高时的高度为度为5.9m5.9m，和发射点的水平距离为，和发射点的水平距离为13.6m13.6m。求：此刻另一份的位置。求：此刻另一份的位置。解：如果射弹没有爆炸，射弹在时间解：如果射弹没有爆炸，射弹在时间 t = 1.42 s t = 1.42 s 的的位置应该是：位置应该是： mssmssmgttvyy3 . 4)42. 1 ()/80. 9(21)42. 1 ()/0 .10(212220mssmtvxx4 .1042. 1)/3 . 7(0这是质心的位置212211mmxmxmxcm?212211mmymymycm?Cm1m0v0yx 质点系质点系 动量动量 mmymMyycm9 . 02112mkgmkgmkgmxmMxxcm7 . 33 . 3)6 .13()5 . 6()4 .10()6 . 9(21120v0Cm1m2myx 质点系质点系 动量动量五、变质量体系问题五、变质量体系问题 质点系质点系 动量动量 动量守恒的应用例子动量守恒的应用例子-分析火箭的加速运动分析火箭的加速运动 火箭在惯性参考系中加速，忽略重力和大气阻力，火箭在惯性参考系中加速，忽略重力和大气阻力，作为一维运动处理（作为一维运动处理（为什么可以这样处理？为什么可以这样处理？）。）。在在t t = = t t，火箭的质量为，火箭的质量为M M，速度为，速度为，到到t t= =t t+d+dt t，火箭质量减少为，火箭质量减少为M-dMM-dM，减少的质量作，减少的质量作为喷射的废弃物以速度为喷射的废弃物以速度U U 相对于惯性系沿与火箭相反的相对于惯性系沿与火箭相反的方向运动，而火箭的速度变为方向运动，而火箭的速度变为+d+d。 根据动量守恒根据动量守恒求火箭的速度求火箭的速度P Pi i = = P Pf fM M = -dM = -dMU U + (M+dM)( + (M+dM)(+d+d) ) 质点系质点系 动量动量M = -dMU + (M+dM)(+d)设设火箭相对于废弃物的速度火箭相对于废弃物的速度rel 整理得整理得Md =-dMrel两边除以两边除以dt，得到，得到reldMdMMadtdtdMRdt取取 ，称为称为火箭的质量损失速率火箭的质量损失速率，得到，得到relRMa令令 Rrel = T，称为火箭的推力称为火箭的推力，则，则TMa(第一火箭方程)relvvdvU)(UvvdvrelrelvdvvU)(则则 质点系质点系 动量动量火箭的最终速度：火箭的最终速度：由由reldMdMdtdtreldMdM ffiiMrelMdMdM (第二火箭方程)firelifMMvvvlnMi / Mf 叫做质量比叫做质量比 质点系质点系 动量动量reldvdMMFvdtdt火箭在地面上起飞：火箭在地面上起飞：MgreldvdMMMgvdtdtreldMdvgdtvM火箭运动方程：火箭运动方程：0( )ln()relMv tgtvM 考虑外力火箭运动的速度公式考虑外力火箭运动的速度公式 质点系质点系 动量动量多级火箭多级火箭112121lnlnlnrelrelnnrelnvvNvvvNvvvN质量比质量比Ni =Mi-1 / Mi1212lnlnln) ln)nrelnrelnvvNNNvN NN（但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。 质点系质点系 动量动量 例题：一长为例题：一长为 l l，密度均匀的柔软链条，密度均匀的柔软链条，其单位长度的密度为其单位长度的密度为。将其卷成一堆放。将其卷成一堆放在地面上（在地面上（1 1）若手握链条的一端，以匀速）若手握链条的一端，以匀速v v 将其上提当绳端提离地面的高度为将其上提当绳端提离地面的高度为x x 时，时，求手的提力求手的提力; ;（2 2）以匀速）以匀速a a将其上提当绳端将其上提当绳端提离地面的高度为提离地面的高度为x x 时，求手的提力。时，求手的提力。以变质量体系来考虑以变质量体系来考虑解：解：dtvmdmgF)(dtvdmvdtdmdtdvxvdtdxxgFxavxg2（1 1） v=Constv=Const2vxgF（2 2） a=Consta=ConstxaaxxgF2axxg3 质点系质点系 动量动量六、碰撞六、碰撞 什么是碰撞？什么是碰撞？碰撞是两个（或以上的）物体在碰撞是两个（或以上的）物体在相对相对短短的时间内以的时间内以相对强相对强的力发生相互作用的过程。（假的力发生相互作用的过程。（假定碰撞前和碰撞后物体间的相互作用力可以忽略，力定碰撞前和碰撞后物体间的相互作用力可以忽略，力的作用只发生在碰撞的一瞬间。）的作用只发生在碰撞的一瞬间。） 在碰撞时在碰撞时，两物体间，两物体间相互作用相互作用力的大小相等方向相力的大小相等方向相反。反。 碰撞是一种非常普遍的机械运动过程，同时又是碰撞是一种非常普遍的机械运动过程，同时又是在其他物理领域中所经常发生的过程。在其他物理领域中所经常发生的过程。 如：气体分子的碰撞、电子在导体中运动时与原子如：气体分子的碰撞、电子在导体中运动时与原子的碰撞、光与物体的相互作用、微观粒子之间的碰撞，的碰撞、光与物体的相互作用、微观粒子之间的碰撞，打网球，天体相碰，汽车相碰打网球，天体相碰，汽车相碰。等。许多物理学家等。许多物理学家都把他们的时间花在玩都把他们的时间花在玩“碰撞游戏碰撞游戏”上。上。 质点系质点系 动量动量 碰撞引起两个物体运动速度大小和方向的改变。碰撞引起两个物体运动速度大小和方向的改变。 讨论碰撞问题，要从动量定理和机械能关系来分析讨论碰撞问题，要从动量定理和机械能关系来分析其规律，即碰撞前后运动状态所满足的方程。其规律，即碰撞前后运动状态所满足的方程。 质点系质点系 动量动量1 1、碰撞中的动量与动能、碰撞中的动量与动能 讨论孤立、封闭的体系讨论孤立、封闭的体系孤立孤立isolatedisolated系统不受到净外力系统不受到净外力封闭封闭closedclosed与外界没有质量交换与外界没有质量交换 动量必定是守恒的动量必定是守恒的每个碰撞物体的动量可以改每个碰撞物体的动量可以改变，但系统的总动量不会改变。变，但系统的总动量不会改变。接触阶段：接触阶段：两球对心接近运动两球对心接近运动形变产生阶段：形变产生阶段：两球相互挤压，最后两球速度相同两球相互挤压，最后两球速度相同 动能转变为势能动能转变为势能形变恢复阶段：形变恢复阶段：在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分开运动开运动势能转变为动能势能转变为动能分离阶段：分离阶段：两球分离，各自以不同的速度运动两球分离，各自以不同的速度运动 质点系质点系 动量动量完全弹性碰撞：完全弹性碰撞： 碰撞前后系统动能守恒碰撞前后系统动能守恒非弹性碰撞：非弹性碰撞： 碰撞前后系统动能不守恒碰撞前后系统动能不守恒（由于非保守力的作用，两物体碰撞后，部分机械能（由于非保守力的作用，两物体碰撞后，部分机械能转换为其他形式的能量。）转换为其他形式的能量。）完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞： 碰后系统以相同的速度运动碰后系统以相同的速度运动2、碰撞分类：、碰撞分类：弹性碰撞弹性碰撞完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 质点系质点系 动量动量正碰：正碰：一维问题，碰前、一维问题，碰前、碰后速度沿质心连线碰后速度沿质心连线斜碰：斜碰：一般为三维问题，一般为三维问题，若若v v2020=0=0，则为二维问题。，则为二维问题。v10v20v1v2 质点系质点系 动量动量3、一维碰撞、一维碰撞 两球两球m m1 1，m m2 2对心碰撞，碰对心碰撞，碰撞前速度分别为撞前速度分别为v v1010 、v v2020，碰撞后速度变为碰撞后速度变为v v1 1、v v2 2由上面两由上面两式可得：式可得： (3) 22021011vvmvvm (4) 222202210211vvmvvm 由动量守恒由动量守恒(1) 2021012211vmvmvmvm(2) 2121212122022101222211vmvmvmvm动能守恒动能守恒 弹性碰撞弹性碰撞 质点系质点系 动量动量(4)/(3)(4)/(3)得得(5) 122010202101vvvvvvvv碰撞前两球相互趋近的相对速度（碰撞前两球相互趋近的相对速度（v v1010-v-v2020 ）等于碰）等于碰撞后两球相互分开的相对速度（撞后两球相互分开的相对速度（v v2 2-v-v1 1 ）由（由（3 3）、（）、（5 5）式可以解出）式可以解出 2110120122212021021122mmvmvmmvmmvmvmmv 若若v20=021101221102112mmvmvmmvmmv 质点系质点系 动量动量讨论讨论若若m m1 1=m=m2 2，则，则v v1 1=v=v2020，v v2 2=v=v1010，两球碰撞时交换速度两球碰撞时交换速度。若若m m2 2mm1 1，且，且v v2020= =0 0，则，则v v1 1vv1010，v v2 22v2v1010，即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。若若m m1 1mm2 2，且，且v v2020= =0 0，则，则v v1 1 - v - v1010，v v2 2= =0 0，m m1 1反弹，反弹，即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持不即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。 2110120122212021021122mmvmvmmvmmvmvmmv 若若v20=021101221102112mmvmvmmvmmv 质点系质点系 动量动量作作 业业 18， 20，22， 23， 27 质点系质点系 动量动量讨论讨论若若m m1 1=m=m2 2，则，则v v1 1=v=v2020，v v2 2=v=v1010，两球碰撞时交换速度两球碰撞时交换速度。若若m m2 2mm1 1，且，且v v2020= =0 0，则，则v v1 1vv1010，v v2 22v2v1010，即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。若若m m1 1mm2 2，且，且v v2020= =0 0，则，则v v1 1 - v - v1010，v v2 2= =0 0，m m1 1反弹，反弹，即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持不即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。 2110120122212021021122mmvmvmmvmmvmvmmv 若若v20=021101221102112mmvmvmmvmmv 质点系质点系 动量动量例：原子核式结构的发现例：原子核式结构的发现汤姆逊模型汤姆逊模型一团带正电的物质中一团带正电的物质中镶嵌着电子镶嵌着电子a a 粒子轰击粒子轰击结果：大部分结果：大部分a a 粒子通过，小部分以大角度被粒子通过，小部分以大角度被反弹回来反弹回来 卢瑟福核式模型卢瑟福核式模型 质点系质点系 动量动量完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞碰撞后系统以相同的速度运动碰撞后系统以相同的速度运动 v v1 1= =v v2 2= =v v动能损失为动能损失为220102111221220221012 212121vvmmmmvmmvmvmEk动量守恒动量守恒 vmmvmvm21202101 21202101mmvmvmv 质点系质点系 动量动量非弹性碰撞非弹性碰撞恢复系数恢复系数牛顿提出碰撞定律：碰撞后两球的分牛顿提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度离速度v v2 2- -v v1 1与碰撞前两球的接近速度与碰撞前两球的接近速度v v1010- -v v2020之比为一定值，比值由两球材之比为一定值，比值由两球材料的性质决定。该比值称为料的性质决定。该比值称为恢复系数恢复系数。201012vvvve 21101201222120210211)1()1(mmvmevemmvmmvmevemmv 完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：e=0，v2=v1完全弹性碰撞：完全弹性碰撞：e=1， v2-v1 = v10-v20 非完全弹性碰撞：非完全弹性碰撞：0e1 质点系质点系 动量动量例题：例题： 一质量为的物体，一侧系有一处于压缩状态的轻一质量为的物体，一侧系有一处于压缩状态的轻弹簧，其倔强系数为，压缩量为，并用细绳系弹簧，其倔强系数为，压缩量为，并用细绳系住，一质量为住，一质量为( () )的物块以初速正撞击弹簧，的物块以初速正撞击弹簧，碰撞过程中弹簧放松。求碰后两物块的速度。碰撞过程中弹簧放松。求碰后两物块的速度。m, VM(2) 21vmvMvm(1) kx21212121222221mvMvmv机械能守恒机械能守恒动量守恒动量守恒解解 质点系质点系 动量动量质心的速度质心的速度com 在封闭的孤立系统中，质心的速度不会因碰撞而改在封闭的孤立系统中，质心的速度不会因碰撞而改变（因为没有外力的作用）。变（因为没有外力的作用）。证明：证明： 由二个物体组成的一个系统的总动量为：由二个物体组成的一个系统的总动量为：constppPii21comcommmMP)(21用质心速度来表示总动量用质心速度来表示总动量由上面二式得到由上面二式得到constmmppmmPiicom212121 质点系质点系 动量动量4 4、二维碰撞、二维碰撞 两体碰撞可以是速度方向两体碰撞可以是速度方向不同的二个质点的碰撞，或二不同的二个质点的碰撞，或二个弹性球的非对心碰撞。一般个弹性球的非对心碰撞。一般情形，二物体碰撞前后的动量情形，二物体碰撞前后的动量是共面的，因而是二维碰撞。是共面的，因而是二维碰撞。 二维碰撞后，物体的运动方二维碰撞后，物体的运动方向发生改变，所以又称为散射向发生改变，所以又称为散射(scattering)(scattering)。 质点系质点系 动量动量碰撞中的动量守恒碰撞中的动量守恒1212iiffpppp弹性碰撞中的动能守恒弹性碰撞中的动能守恒将动量守恒的矢量形式写成其沿将动量守恒的矢量形式写成其沿x, y方向的分量形式方向的分量形式fxfxixixmmmm22112211fyfyiyiymmmm22112211动能守恒动能守恒)(21)(21)(21)(2122222212112222221211fyfxy ffxiyixiyixmmmm解三个联立解三个联立方程方程对于二维弹性碰撞（弹性散射）对于二维弹性碰撞（弹性散射）fkEEEEfkikik2121 质点系质点系 动量动量 3个方程式中包含了个方程式中包含了m1, m2,1ix,1iy,1fx,1fy, 2ix, 2iy,2fx, 2fy共共10个量。个量。 只要知道二个物体的质量、初速度，和一个散射粒只要知道二个物体的质量、初速度，和一个散射粒子的方向或速度值，就可以解出其余子的方向或速度值，就可以解出其余3个未知量。个未知量。 粒子的核反应粒子的核反应-以下的碰撞中，二个粒子以下的碰撞中，二个粒子(m1和和m2)碰碰撞后产生新的粒子撞后产生新的粒子(m3和和m4)。 质点系质点系 动量动量1 11 21 11 21.5cos40cos501.5iiffxmvmvmvmviv1iv2fv1fv21m2m504011 21 11 20 1.5sin40sin501.5iffymmvmvmv 对于对于 y 方向：方向：解：由图和动量守恒定律我们得到：解：由图和动量守恒定律我们得到： 对于对于 x 方向：方向：例例 一个冰球在光滑表面上以一个冰球在光滑表面上以2.48m/s的速度滑行。另一的速度滑行。另一个冰球个冰球m2=1.5m1，以与以与m1速度方向成速度方向成40度角的方向运动，度角的方向运动，速度为速度为1.86m/s，并与，并与m1碰撞后离开。碰撞后离开。m1的速度为的速度为1.59m/s，速度方向与其初始速度方向成，速度方向与其初始速度方向成50度角。求度角。求 第第二个冰球碰撞后的速度大小及方向。二个冰球碰撞后的速度大小及方向。已知已知m2/m1, 1ix, 2i, 1f, 由以上二由以上二方程可求出方程可求出2fx及及2fy进而求进而求 质点系质点系 动量动量 自由碰撞自由碰撞（孤立、封闭系统）（孤立、封闭系统）碰撞分类及特征碰撞分类及特征 非自由碰撞非自由碰撞（非孤立、封闭系统）（非孤立、封闭系统）正碰正碰斜碰斜碰斜碰斜碰正碰正碰完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞非弹性碰撞非弹性碰撞完全弹性碰撞完全弹性碰撞完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞非弹性碰撞非弹性碰撞完全弹性碰撞完全弹性碰撞完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞非弹性碰撞非弹性碰撞完全弹性碰撞完全弹性碰撞完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞非弹性碰撞非弹性碰撞完全弹性碰撞完全弹性碰撞0p0pe=0，v2=v1e=0，v2=v1e=0，v2=v1e=0，v2=v10, 1Ee0, 1Ee0, 1Ee0, 1Ee