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2020届高考数学二轮复习专题十一 高考中填空题的解题方法与技巧 【重点知识回顾】填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚准确 。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语数字符号数学语句等。 填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简，结果稍有毛病，便得零分 填空题的基本特点： 1方法灵活，答案唯一； 2答案简短，具体明确 学生在解答填空题时注意以下几点； 1对于计算型填空题要运算到底，结果要规范； 2填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件； 3填空题所填结论要符合高中数学教材要求； 4解答填空题平均每小题3分钟，解题时间应控制在12分钟左右 总之，解填空题的基本原则是“小题小做”，要“准”、“活”、“灵”、“快”【典型例题】（一）直接法直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论例1、不等式的解集是： 【解析】当时，原不等式等价于，此时应有：；当时，原不等式等价于，此时应有：；不等式的解集是：例2、在等差数列中，则数列的前n项和Sn的最小值为： 【解析】设公差为d，则，数列为递增数列，令，前6项和均为负值，Sn的最小值为【题后反思】 由于填空题不需要解题材过程，因此可以透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简洁的解法，省去某些步骤，大跨度前进，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小题大做”（二）特殊值法当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替之，即可得到结论例3、函数在（0，2）上是一增函数，函数是偶函数，则的大小关系为： （用“”号连接）【解析】取，则，例4、椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是： 【解析】设P(x,y)，则当时，点P的轨迹方程为，由此可得点P的横坐标，又当点P在x轴上时，；点P在y轴上时，为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：【题后反思】特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等（三）数形结合法xy-11 根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想例5、已知直线与函数的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是： 【解析】函数的图像如图所示， 由图可知：.xyA(1,2)(-3,1)-2-1-2a+2b+1=0a+b+1=0例6、设函数，若当时，可取得极大值；当时，可取得极小值，则的取值范围是： 【解析】，由条件知，的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，即如图所示，在平面直角坐标系xOy中作出上述区域，得点P（a，b）在图中的阴影区域内，而的几何意义是过两点P（a，b）与A（1，2）的直线的斜率，易知【题后反思】数形结合法，常用的有Venn图，三角函数线，函数图像及方程的曲线等，另一面，有些图形问题转化为数量关系，如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等（四）等价转化法 通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而等到正确的结果例7、若不论k为何实数，直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是： 【解析】题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a，0）的距离小于或等到于圆的半径，所以例8、计算 【解析】分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易，不妨从整体考虑，通过解方程求之设，两边同时立方得：，即：，即2，因此应填2.【题后反思】 在研究解决数学问题时，常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化，从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题，把复杂的问题转化为简单的问题（五）构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它来认识和解决问题例9、如果，那么角的取值范围是： 【解析】设函数，则，所以是增函数，由题设，得出，得，所以ABCDC1A1B1D1PRQQ/R/P/例10、P是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内任意一点，AP与三条棱AA1，AB1，AD的夹角分别为，则 【解析】如上图，过P作平面PQQ/P/，使它们分别与平面B1C1CB和平面C1D1DC平行，则构造一个长方体AQ/P/R/A1QPR，故【题后反思】凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题，通常要用构造法解决（六）分析法根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论例11、以双曲线的左焦点F和左准线为相应的焦点和准线的椭圆截直线，所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是： 【解析】双曲线的左焦点为F（-2，0），左准线为，因为椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分，故根据椭圆的对称性，知椭圆的中心即为直线与x轴的交点（），故，得例12、（2020福建）某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：他第3次击中目标的概率是0.9；他恰好击中目标3次的概率是；他至少击中目标1次的概率是【解析】第3次击中目标意味着1、2、4次可击中，也可不击中，从而第3次击中目标的概率为；恰好击中目标3次的概率是独立重复试验，故概率为；运用对立事件4次射击，一次也没有击中的概率为，从而至少击中目标一次的概率为故正确结论的序号为、【题后反思】分析法是解答问题的常用方法，该方法需要我们从题设出发，对条件进行观察、分析，找到相应的解决方法（七）归纳法例13、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_;=_. 【解析】找出的关系式解析 【题后反思】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系（1）先猜后证是一种常见题型；（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）（八）类比法例14、已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_。【解析】从方法的类比入手解析原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高【题后反思】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等。（九）推理法例15、某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 。（填入中的某个字母）【解析】从分式的性质中寻找S值的变化规律 。解析 因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多。【题后反思】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到。【模拟演练】（1）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且的导数记为，则下列结论中，正确的是： 是方程的根； 1是方程的根； 有极小值；有极大值； （2）设m、n是异面直线，则：一定存在平面，使且；一定存在平面，使且；一定存在平面，使m、n到的距离相等；一定存在无数对平面和，使上述四个命题中，正确命题的序号是： （3）是虚单位， （用的形式表示）（4）设，则的大小关系是： （5）“x、y中至少有一个小于0”是“”的 条件（6）若记符号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是： （7）设椭圆的右焦点为F1，右准线为，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到直线的距离，则椭圆的离心率是： （8）设，其中为互相垂直的单位向量，又，则实数m= （9）如果函数对任意实数t，都有，那么的大小关系是： （10）过抛物线的焦点F作一直线与抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 （11）椭圆的长轴的两端点为M、N，点P在椭圆上，则PM与PN的斜率之积为： （12）方程的实数解的个数是： （13）不等式的解集为（4，b），则a= ，b= ；（14）已知函数在（-3，3）上的最大值与最小值分别为M、m，则M+m= （15）已知集合，如果，则实数m的取值范围是： （16）定义在R上的函数是奇函数，且满足，则 （17）设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且，则的面积是： （18）在数列中，若，则该数列的通项 答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）必要不充分；（6）（答案不唯一）； （7）； （8）-2； （9）； （10）4a； (11)； （12）3； （13）； （14）16； （15）； （16）0； （17）1； （18）
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