广东省廉江市第三中学2020届高考数学必修内容复习 高考中常用函数模型归纳及应用

广东省廉江市第三中学2020届高考数学必修内容复习 高考中常用函数模型归纳及应用高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。现归纳常用的函数模型及其常见应用如下：一 常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。例1已知x(0, ,关于方程2sin(x+)=a有两个不同的实数解，则实数a的取植范围是（ ）A-2，2 B.,2 C.( ,2 D.( ,2)解析；令y=2sin(x+), y=a画出函数y=2sin(x+)，y=a图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( ,2)，选D二 一次函数y=kx+b (k0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。例2不等式2x+1m(x-1)对一切m2恒成立，则x的范围是（ ）A-2x2 B. x0 C.0x D. x解析：不等式可化为m(x-1)- 2x+10设f(m)= m(x-1)- 2x+1若x=1, f(m)=-30 (舍) 则x1则f(m)是关于m的一次函数，要使不等式在m2条件下恒成立，只需，解之可得答案D 三 二次函数y=ax+bx+c (a0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。例3（1）.若关于x的方程x+ax+a-1=0有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ）解析：令f(x)= x+ax+a-1由题意得f(0)= a-1 0,即-1a1即可。一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。例4函数f(x)= x-4x-4在闭区间t,t+1 tR上的最小值记为g(t),试求g(t)的表达式。解：f(x)=（x-2）-8当t2时，f(x)在t,t+1上是增函数g(t)= f(t)=t-4t-4当t2t+1即1t2时，g(t)= f(2)=-8当t+12即t1时f(x)在t,t+1上是减函数g(t)= f(t+1)= t-2t-7,从而g(t)=评：二次函数在闭区间上的最值问题是历年高考的热点，它的对称轴能确定二次函数的单调区间，二次函数与对数函数的综合性题目是常考的交汇点之一。该题中，对称轴x=2确定，而区间t,t+1不确定即“定轴不定区间”，二者的位置关系有三种情况。类似问题还有“定区间不定轴”、“不定轴不定区间”问题，但方法都一样，“讨论对称轴和区间的位置关系”。例5如果函数y=a+2a-1(a0且a1) 在区间-1，1上的最大值是14，求a的值。f(x)=-sinx+sinx+a,若1f(x) 对一切xR恒成立,求a的取值范围。以上两个问题都可以利用换元法转化为二次函数来解决，换元过程中注意等价性，即保证“旧元”和“新元”取值范围的统一。解题过程略。答案：.a=3或 3a4例6.已知a,b为常数，且a0,f(x)=x+(1-a)x-3ax+b(1).若函数f(x)的极大值是2，求a和b的关系式（2）.若函数f(x)的极大值是2，且在区间0，3上的最小值是-，求a和b的值。解答过程略。答案：(1).3a+2b=3 （2）.a=2,b=-四 绝对值函数y=x例7画出函数y=x-1-1按照以下的变换的方式即可：y=x y=x-1 y=x-1 y=x-1-1 y=x-1-1， 答案如上图所示。例8函数y=ax和y=x+a图象恰有两个交点，则a的取值范围是（ ）A.(1,+) B.(-1,1) C.(-,-11,+) D. (-,-1)(1,+)解析：（）若a=0, y=ax=0与y=x只有一个交点； () 若0a1,则y=ax和y=x+a只有一个交点； （）若a1, 则y=ax和y=x+a有两个交点； （）若-1a0,则y=ax和y=x+a只有一个交点； （）若a-1,则y=ax和y=x+a有两个交点； 选D五 折线函数y=x-a+x-b和y=x-a-x-b (ab)根据绝对值的定义可以先把这两个函数可以化成分段函数的形式，比如y=x-a+x-b=然后再画函数图象。它们的图象分别是也可根据绝对值的意义进一步把握，y=x-a+x-b表示数轴上任意一点x到a和b的距离的和。例9若不等式x+3-x-2a有解，求a的取值范围解析：方法：x+3-x-2表示数轴上的点（x，0）到点（-3，0）和（2，0）的距离的差的最大植是5，所以，要使不等式x+3-x-2a有解，只需a0且a1)对数函数y= logx (a0且a1)类似于指数函数，对数函数应该熟记y=logx和y=logx的函数图象和性质，二者图象关于x轴对称。与指数函数不同的是定义域（0，+），这一点极易忽略。熟记函数值的分布，有利于比较数的大小及判断对数值的正负例12函数y=log(2-ax)在区间0，1上是减函数，求实数a的取值范围。解：要使函数有意义需满足2-ax0，有ax0,a1x0, 即a2 若1a2,在x0，1时u=2-ax 单减 ，y= logu单增，从而函数y=log(2-ax) 在0，1上单减；若0a0中图象上凸或下凸的分水岭。幂函数在中学教材中反复出现和删除，但前面的y= y=x,y=一直应用着。例13函数y= 的图象关于点 对称解析：分离常数：y=-1+，结合函数y=的对称中心是（0，0），函数y=的图象可由y=向右向下各平移一个单位得到，故y=的对称中心是（1，-1）再如求下列函数的值域:y= y= ,通过变形处理，换元，可以利用函数模型y=求值域。答案：-，1 ，1）十正弦函数余弦函数正切函数熟记y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象和性质（包括：周期性，单调性，奇偶性，符号区间，对称轴和对称中心），是推知y=Asin()+b、y=Acos()+b、y=Atan()+b (其中A，0,bR)这三大类函数图象和性质的基础。运用整体思想，把作为整体，进行处理该类问题是通法。三角换元中常利用这三类函数，一定要恰到好处地选择角的范围，常取-，、0，、0，。例14（2020年全国高考卷）设f(x)=sin(2x+)(-0),y= f(x) 一条对称轴是直线x=。求的值。求函数y= f(x)的单调递增区间。解：直线x=是函数y= f(x)的对称轴sin(2*+)=1，则+=k+ kZ-0=-, 由知=-，因此y= sin(2x-)由题意得，2k-2x-2 k+ kZ解之可得：k+ xk+ kZ所以函数的单调递增区间是k+ ，k+ kZ例15求函数y=x+值域解：令x=5sin(-)得y=sin+cos=sin(+),-,于是-sin(+)1，-sin(+)函数的值域是-，评析：该题也可以令x=cos， 的取值范围相应地改为0，高考衔接：1. （2020年辽宁文科9）函数的单调增区间为（ ）ABCD2（2020年江苏文科9）已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则的最小值为A B C D3.（2020年山东文科11）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）ABCD4.（2020年山东文科6）.给出下列三个等式：，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）ABCD5（2020年福建理科11）.已知对任意实数，有，且时，则时（ ）ABCD6（2020年福建文科5）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）A关于点对称B关于直线对称C关于点对称D关于直线对称7（2020年四川文科7）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）8（2020年北京理科8）对于函数，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）答案：1.D 2.C 3. B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D分段函数和抽象函数是当前高考考查的热点，由于分段函数能将不同的函数揉和在一起，因此对于考查函数性质方面可以有一定的覆盖面，且可以考查分类讨论、数形结合的思想方法，因此被受关注。抽象函数由于只给出函数的某些性质，却不给具体解析式，因而成为函数问题中的一个难点，但这类问题能较好地考查学生的思维能力。解决抽象函数问题，要全面应用其所具有的性质展开解题思路，通常的方法是赋值法，,并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论。复合函数，应该搞清楚有几层复合而成，若是有两层，明确其内函数和外函数各是什么，每一层都是以上简单的初等函数，常用的解题方法是换元法，代入法等。只要熟练掌握了以上十类常见函数的图象和性质，应对函数的综合问题就会游刃有余。