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正态分布导学目标： 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义自主梳理1正态分布密度曲线及性质(1)正态曲线的定义函数，(x)_(其中实数和 (0)为参数)的图象为正态分布密度曲线(2)正态分布密度曲线的特点曲线位于x轴_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_对称；曲线在_处达到峰值_；曲线与x轴之间的面积为_；当一定时，曲线随着_的变化而沿x轴移动；当一定时，曲线的形状由确定_，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散2正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足P(aXb)_，则称随机变量X服从正态分布，记作_(2)正态分布的三个常用数据P(X)_；P(2X2)_；P(3X3)_.自我检测1(2020大连模拟)下列说法不正确的是()A若XN(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴B正态分布N(，2)的图象位于x轴上方C所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D函数(x) (xR)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线2已知随机变量服从正态分布N(3，2)，则P(3)等于()A. B. C. D.3(2020湖北)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(00)和N(2，) (20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12B12C12，12，12探究点一正态曲线的性质例1如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差变式迁移1若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(4,4的概率探究点二服从正态分布的概率计算例2设XN(5,1)，求P(6X7)变式迁移2设XN(1,22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(31230B01212130D0121c1)P(4)等于()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 55已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩XN(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A(90,110 B(95,125C(100,120 D(105,115二、填空题(每小题4分，共12分)6.设三个正态分布N(1，) (10)，N(2，) (20)，N(3，) (30)的密度函数图象如图所示，则1、2、3按从小到大的顺序排列是_；1、2、3按从小到大的顺序排列是_7在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为_8(2020青岛模拟)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，P(4)0.84，则P(0)_.三、解答题(共38分)9(12分)设XN(10,1)(1)证明：P(1X2)P(18X19)；(2)设P(X2)a，求P(10X18)10(12分)已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，)上是减函数，且(80).(1)求正态分布密度函数；(2)估计尺寸在72 mm88 mm间的零件大约占总数的百分之几？11(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？学案69正态分布自主梳理1(1)，x(，)(2)上方xx1越小越大2(1)，(x)dxXN(，2)(2)0.682 60.954 40.997 4自我检测1C2D由正态分布图象知，3为该图象的对称轴，P(3).3CP(4)0.2，由题意知图象的对称轴为直线x2，P(4)0.2，P(04)1P(4)0.6.P(02)P(04)0.3.4D由(x)对照得2，0，E()0，2.5A由正态分布N(，2)性质知，x为正态分布密度函数图象的对称轴，故12；又越小，图象越高瘦，故12.课堂活动区例1解题导引要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数，的值，其中决定曲线的对称轴的位置，则与曲线的形状和最大值有关解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值为，所以20.由，解得.于是正态分布密度曲线的解析式是，(x)，x(，)均值和方差分别是20和2.变式迁移1解(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0.由，得4，故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是，(x)，x(，)(2)P(4X4)P(04X04)P(X)0.682 6.例2解题导引求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上解由已知5，1.P(4X6)0.682 6，P(3X7)0.954 4，P(3X4)P(6X7)0.954 40.682 60.271 8.如图，由正态曲线的对称性可得P(3X4)P(6X7)P(6X7)0.135 9.变式迁移2解XN(1,22)，1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)P(3X5)P(3X1)，P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8.例3解题导引正态分布已经确定，则总体的期望和标准差就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解解N(90,100)，90，10.(1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，29021070，290210110，于是考试成绩位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由90，10，得80，100.由于正态变量在区间(，)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 0000.682 61 365(人)变式迁移3解成绩服从正态分布N(80,52)，80，5，75，85.于是成绩在(75,85内的同学占全班同学的68.26%.这样成绩在(80,85内的同学占全班同学的34.13%.设该班有x名同学，则x34.13%17，解得x50.又2801070，2801090，成绩在(70,90内的同学占全班同学的95.44%.成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.即有502.28%1(人)即成绩在90分以上的仅有1人课后练习区1D0，且21，11.2BN(2,9)，P(c1)P(c1)P(110)P(X3)，P(X50)P(X110)P(X4)P(X4)0.158 7.5C由于XN(110,52)，110，5.因此考试成绩在区间(105,115，(100,120，(95,125上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，成绩位于上述三个区间的人数分别是：600.682 641(人)，600.954 457(人)，600.997 460(人)，故大约应有57人的分数在(100,120区间内621313270.8解析服从正态分布(1，2)，在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.在(0,2)内取值概率为0.40.40.8.80.16解析2，P(0)P(4)1P(4)10.840.16.9(1)证明因为XN(10,1)，所以，正态曲线，(x)关于直线x10对称，而区间1,2和18,19关于直线x10对称，所以，(x)dx，(x)dx，即P(1X2)P(18X19)(6分)(2)解P(10X18)P(2X10)P(X10)P(X2)a.(12分)10解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80对称，且在x80处取得最大值因此80，所以8.故正态分布密度函数解析式是，(x).(6分)(2)由80，8，得80872，80888，所以零件尺寸X位于区间(72,88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm88 mm间的零件大约占总数的68.26%.(12分)11解(1)设参加竞赛的学生人数共n人则P(X90)，(2分)而P(X90)0.001 3.(6分)0.001 3，n10 000(人)参加竞赛的学生总数约有1万人(7分)(2)设受奖学生的分数线为x0，则P(Xx0)0.022 8，(9分)因为0.022 860，所以P(Xx0)P(X60x060)0.022 8，(12分)所以P(|X60|x060)0.954 4，所以x06020，即x080(分)受奖学生的分数线是80分(14分)
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