安徽省2020年高考数学第二轮复习 专题五 立体几何第2讲 点、直线、平面之间的位置关系 文

专题五立体几何第2讲点、直线、平面之间的位置关系真题试做1(2020四川高考，文6)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2(2020浙江高考，文5)设l是直线，是两个不同的平面，()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l3(2020大纲全国高考，文16)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_4(2020安徽高考，文15)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，则_(写出所有正确结论的编号)四面体ABCD每组对棱相互垂直四面体ABCD每个面的面积相等从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长5(2020江苏高考，16)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.考向分析从近几年的高考试题来看，在本讲中所涉及的主要内容是：(1)有关线面位置关系的组合判断试题以选择题的形式出现，通常是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质；(2)有关线线、线面平行与垂直的证明试题以解答题为主，常以多面体为载体，突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力；(3)有关面面平行与垂直的证明，多以解答题的形式出现，综合性强；(4)有关折叠问题，以解答题为主，通过折叠把平面图形转化为空间几何体，更好地考查学生的空间想象能力和知识迁移能力预测2020年高考中，仍以某几何体为载体，重在探索和判定线线、线面和面面的位置关系，当然也可能综合考查面积及体积的计算，题目难度为中低档热点例析热点一有关线面位置关系的组合判断【例1】若a，b是两条异面直线，是两个不同平面，a，b，l，则()Al与a，b分别相交Bl与a，b都不相交Cl至多与a，b中一条相交Dl至少与a，b中的一条相交规律方法 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：(1)根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断；(3)应熟练掌握立体几何的三种语言符号语言、自然语言以及图形语言的相互转换变式训练1 如图所示，平面平面，直线l，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点下列判断正确的是()A当|CD|2|AB|时，M，N两点不可能重合BM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行热点二线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.规律方法 (1)线线垂直的证明方法相交垂直：可借助定义或平面几何知识进行证明；异面垂直：由线面垂直的性质定理进行证明(2)证明线线平行的常用方法利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；利用平行四边形进行转换；利用三角形中位线定理证明；利用线面平行、面面平行的性质定理证明(3)证明线面平行的常用方法定义法；利用线面平行的判定定理；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行(4)证明线面垂直的常用方法利用直线和平面垂直的定义此种方法利用向量证明较好；利用线面垂直的判定定理此种方法要注意平面内的两条直线必须相交；利用线面垂直的性质两平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面；利用面面垂直的性质两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面此种方法要注意“平面内的直线”；利用面面垂直的性质两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面；利用面面平行的性质一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个平面变式训练2 (2020安徽高考，文19)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点，(1)证明：BDEC1；(2)如果AB2，AE，OEEC1，求AA1的长热点三面面平行与垂直的证明【例3】(2020合肥八中冲刺卷，文17)已知四棱锥PABCD底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AD2，AB1，E，F分别是线段AB，BC的中点(1)证明：PFFD；(2)在线段PA上找一点G，使得EG平面PFD；(3)若PAAF，求点C到平面PFD的距离规律方法 (1)证明面面平行的常用方法利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一直线；证明两个平面同时平行于第三个平面(2)证明面面垂直的方法证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般先在现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则应借助中点、高线等添加辅助线解决；利用面面垂直的定义新课标对此要求较低变式训练3 如图，已知在三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形求证：(1)DM平面APC；(2)平面ABC平面APC.热点四折叠问题【例4】如图，在ABC中，B，ABBC2，P为AB边上一动点，PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：ABDE.规律方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)将平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决(3)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形变式训练4 如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD内的射影为点D，如图.(1)求证：AP平面EFG；(2)求三棱锥PABC的体积思想渗透转化与化归思想解决立体几何中的探索性问题(1)解决立体几何中探索性问题的常用方法是：先研究特殊点(端点、中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再进行证明；(2)当特殊点或特殊位置不符合要求时，可以通过运算(向量法)或根据结论分析出点线位置，再用综合法证明；(3)解决探索性问题的一般步骤为：首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设【典型例题】如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点(1)求证：ADPC；(2)求三棱锥APDE的体积；(3)在AC上是否存在一点M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由(1)证明：因为PD平面ABCD，所以PDAD.又因为四边形ABCD是矩形，所以ADCD.因为PDCDD，所以AD平面PCD.又因为PC平面PCD，所以ADPC.(2)解：由(1)知AD平面PCD，所以AD是三棱锥APDE的高因为E为PC的中点，且PDDC4，所以SPDESPDC4.又AD2，所以VAPDEADSPDE24.(3)解：取AC的中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EMPA.又因为EM平面DEM，PA平面EDM，所以PA平面DEM.此时AMAC，即在AC上存在一点M，使得PA平面EDM，且AM的长为.1(2020湖南株洲质检，7)若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：(1)若m，n，则mn；(2)若，则；(3)若m，n，则mn；(4)，m，则m.其中正确的命题是()A(1)(4) B(2)(3)C(1)(2)(4) D(1)(3)2(2020山东济南二模，10)设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Aml1且nl2 Bm且nl2Cm且n Dm且l13如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部4. (2020安徽江南十校联考，文15)如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，点MAB1，NBC1，且AMBN，有以下四个结论：AA1MN；A1C1MN；MN面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线其中正确结论的序号是_(注：把你认为正确命题的序号都填上)5如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.6(2020广东梅州中学三模，18)如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADE90，AFDE，DEDA2AF2.(1)求证：AC平面BEF；(2)求四面体BDEF的体积参考答案命题调研明晰考向真题试做1C解析：若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交选项A错；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，选项B不正确；如图，平面b，a，a，过直线a作平面c，过直线a作平面d，a，ac，a，ad，dc，c，d，d，又d，db，ab，选项C正确；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，选项D不正确2B解析：A选项中由l，l不能确定与的位置关系，C选项中由，l可推出l或l，D选项由，l不能确定l与的位置关系3.解析：设正方体的棱长为a.连接A1E，可知D1FA1E，异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角在AEA1中，cosAEA1.4解析：如图所示，四面体ABCD中，ABCD，ACBD，ADBC，则ABCCDADCBBAD，故正确；ABCCDABAD，BADABC，CADACB，BACCADBADBACACBABC180，故错；取AB，BC，CD，DA的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，MQ，由此得，MNQPAC，NPMQBD，BDAC，MNQPMQNP，四边形MNPQ为菱形，对角线相互垂直平分，故正确，错误；而正确，如AB，AC，AD可作为ABC的三边5证明：(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.精要例析聚焦热点热点例析【例1】 D解析：假设l与a，b均不相交，则la，lb，从而ab与a，b是异面直线矛盾，故l至少与a，b中的一条相交选D.【变式训练1】 B解析：若M，N两点重合，由AMMB，CMMD知ACBD，从而AC平面，故有ACl，故B正确【例2】 证明：(1)方法一：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD.又因为AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos 603AD2，所以AD2BD2AB2.所以ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.方法二：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD(如图)，所以BDD1D.取AB的中点G，连接DG(如图)在ABD中，由AB2AD得AGAD.又BAD60，所以ADG为等边三角形，因此GDGB，故DBGGDB.又AGD60，所以GDB30，故ADBADGGDB603090，所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.(2)如图，连接AC，A1C1.设ACBDE，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC.由棱台定义及AB2AD2A1B1知A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形因此CC1EA1.又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.【变式训练2】 (1)证明：连接AC，A1C1.由底面是正方形知，BDAC.因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又由AA1ACA，所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1.(2)解：设AA1的长为h，连接OC1.在RtOAE中，AE，AO，故OE2()2()24.在RtEA1C1中，A1Eh，A1C12，故EC(h)2(2)2.在RtOCC1中，OC，CC1h，OCh2()2，因为OEEC1，所以OE2ECOC，即4(h)2(2)2h2()2，解得h3.所以AA1的长为3.【例3】(1)证明：连接AF，则AF，DF，AD2，DF2AF2AD2，DFAF，PA平面ABCD，DFPA，PAAFA，DF平面PAF，PF平面PAF，DFPF.(2)解：过点E作EHFD交AD于点H，则EH平面PFD且AHAD，再过点H作HGDP交PA于点G，连接EG，则HG平面PFD且AGAP，平面EHG平面PFD，EG平面PFD.从而求得满足条件的点G在AP上且AGAP.(3)解：设C到平面PFD的距离为d，由VPCFDVCPFD得SCFDPASPFDd，易算得SCFD，SPFD，PA，因此d.【变式训练3】 证明：(1)M为AB中点，D为PB中点，MDAP.又MD平面APC，AP平面APC，DM平面APC.(2)PMB为正三角形，且D为PB中点，MDPB.又由(1)知MDAP，APPB.又APPC，PBPCP，AP平面PBC，APBC.又ACBC，APACA，BC平面APC，平面ABC平面PAC.【例4】 (1)解：令PAx(0x2)，则APPDx，BP2x.因为APPD且平面APD平面PBCD，故AP平面PBCD，所以VAPBCDSh(2x)(2x)x(4xx3)令f(x)(4xx3)，由f(x)(43x2)0，得x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减所以，当x时，f(x)取得最大值，即当VAPBCD最大时，PA.(2)证明：设F为AB的中点，连接PF，FE，则有EFBC.又PDBC，所以DEPF.又APPB，所以PFAB，故DEAB.【变式训练4】 (1)证明：由题意，PCD折起后PD平面ABCD.四边形ABCD是边长为2的正方形，PD2.E，F，G分别为PC，PD，BC的中点，EFCD，EGPB.又CDAB，EFAB.又EGEFE，PBABB，平面EFG平面PAB，PA平面EFG.(2)解：由(1)中结论可知PD是三棱锥PABC的高，因此V三棱锥PABCSABCPD222.创新模拟预测演练1A解析：对于(2)，与可能相交；对于(3)，平行于同一平面的两直线可能平行，也可能相交，也可能异面；因此选A.2A3A解析：由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1，AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上，故选A.4解析：过N作NPBB1于点P，连接MP，可证AA1面MNP，对；过M，N分别作MRA1B1，NSB1C1于点R，S，则当M，N不是AB1，BC1的中点时，A1C1与RS相交；当M，N是AB1，BC1的中点时，A1C1RS，A1C1与MN可以异面，也可以平行，故错；由正确知：面MNP面A1B1C1D1，故对故选.5证明：(1)如图，连接AC，AN，BN.PA平面ABCD，PAAC.在RtPAC中，N为PC中点，ANPC.PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中点，BNPC.ANBN，ABN为等腰三角形又M为底边AB的中点，MNAB.又ABCD，MNCD.(2)如图，连接PM，CM.PDA45，PAAD，APAD.四边形ABCD为矩形，ADBC，PABC.又M为AB的中点，AMBM.而PAMCBM90，PMCM.又N为PC的中点，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面PCD.6(1)证明：设ACBDO，取BE中点G，连接FG，OG，所以OGDE.因为AFDE，DE2AF，所以AFOG.从而四边形AFGO是平行四边形，FGAO.因为FG平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF.(2)解：因为平面ABCD平面ADEF，ABAD，所以AB平面ADEF.因为AFDE，ADE90，DEDA2AF2，所以DEF的面积为EDAD2，所以四面体BDEF的体积SDEFAB.