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专题升级训练28 解答题专项训练(立体几何)1有一根长为3 cm，底面半径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？2已知正四面体ABCD(图1)，沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A)(1)证明：ABCD；(2)当A1D10，A1A28时，求四面体ABCD的体积3一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点(1)求证：CM平面FDM；(2)在线段AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP平面FMC，并给出证明4. (2020皖南八校三联，理19)如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，ABCD，BAD=90，PB=PC=CD=2AB=4，AC=2，平面BPC平面ABCD.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的正切值5.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为多少？6.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：平面BDE平面BEC；(3)求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值7. (2020安徽师大附中五模，理18)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB2AD2，BD，PD底面ABCD.(1)证明：平面PBC平面PBD；(2)若PD1，求AP与平面PBC所成角的正弦值8.如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点(1)证明：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值参考答案1解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度AC5(cm)，故铁丝的最短长度为5 cm.2(1)证明：在四面体ABCD中，AB平面ACDABCD.(2)解：在题图2中作DEA2A3于E.A1A28，DE8.又A1DA3D10，EA36，A2A310616.又A2CA3C，A2C8.即题图1中AC8，AD10，由A1A28，A1BA2B得图1中AB4.SACDSA3CDDEA3C8832.又AB面ACD，VBACD324.3解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF，DFADa.(1)证明：FD平面ABCD，CM平面ABCD，FDCM.在矩形ABCD中，CD2a，ADa，M为AB中点，DMCMa，CMDM.FD平面FDM，DM平面FDM，FDDMD，CM平面FDM.(2)点P在A点处证明：取DC中点S，连接AS，GS，GA，G是DF的中点，GSFC.又ASCM，ASAGA，平面GSA平面FMC.而GA平面GSA，GP平面FMC.4解：(1)在直角梯形ABCD中，由AC2及ADC90可求得AD2，BCBD4，BPC为等边三角形取BC的中点O，连接PO，则POBC.又平面BPC平面ABCD，平面BPC平面ABCDBC，PO平面ABCD，从而VPABCDSABCDPO(24)2212.(2)连接OD，由(1)计算可知，BDC为等边三角形，而O为BC的中点，ODBC.又平面BPC平面ABCD，OD平面BPC.延长CB与DA交于E，连接PE，过O作ONPE，连接DN，则DNO即为所求的二面角的平面角，可求得ON=PC=3，OD=2，所以tanDNO=.5.解：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，-1,0)，B1(,1,2)，D，则，=(,1,2)设平面B1DC的法向量为n=(x，y,1)，由解得n=(,1,1)又，sin =|cos，n|=.6(1)证明：取DE中点N，连接MN，AN.在EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MNCD，且MNCD.由已知ABCD，ABCD，所以MNAB，且MNAB，所以四边形ABMN为平行四边形所以BMAN.又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF.(2)证明：在正方形ADEF中，EDAD.又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以ED平面ABCD.所以EDBC.在直角梯形ABCD中，ABAD2，CD4，可得BC2.在BCD中，BDBC2，CD4.所以BCBD.所以BC平面BDE.又因为BC平面BCE，所以平面BDE平面BEC.(3)解：由(2)知ED平面ABCD，且ADCD.以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，平面ADEF的一个法向量为m(0,1,0)设n(x，y，z)为平面BEC的一个法向量，因为(2,2,0)，(0，4,2)，所以令x1，得y1，z2.所以n(1,1,2)为平面BEC的一个法向量设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为，则cos .所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为.7解：(1)证明：AB2AD2BD2，ADBD.又PD底面ABCD，PDAD.又PDBDD，AD平面PBD.又BCAD，BC平面PBD.BC平面PBC，平面PBC平面PBD.(2)如图，分别以DA，DB，DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，0)，P(0,0,1)，C(1，0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0，1)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，由可得令y1，则z，n(0,1，)sin .8(1)证明：PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令P(0,0，t)，(1,1，t)，(1，1,0)，111(1)(t)00，即PFFD.(2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，由令z=1，解得：x=y=.n=.设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG平面PFD，只需n=0，即+1m=0，得m=，从而满足的点G即为所求(3)解：AB平面PAD，是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又PA平面ABCD，PBA是PB与平面ABCD所成的角，得PBA=45，PA=1，平面PFD的法向量为n=.cos，n=.故所求二面角APDF的余弦值为.
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