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专题升级训练25 解答题专项训练(函数与导数)1已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在2，)上为增函数，求a的取值范围2设定义在(0，)上的函数f(x)axb(a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx，求a，b的值3已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求函数f(x)在(1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当取何值时，方程f(x)在(1,1)上有实数解？4某高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)前n年的总收入前n年的总支出投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：年平均利润最大时，以480万元出售该企业；纯利润最大时，以160万元出售该企业；问哪种方案最合算？5(2020安徽师大附中五模，理21)已知函数f(x)exax1(a0，e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)0对任意的xR恒成立，求实数a的值；(3)在(2)的条件下，证明：nnnn(其中nN*)6已知函数f(x)在x1处取得极值2，设函数yf(x)图象上任意一点(x0，f(x0)处的切线斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)若对于任意0x1x21，存在k，使得k，求证：x1|x0|0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x2，证明：1ln(x2)x1.8已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0，设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x0)参考答案1解：(1)当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)若函数f(x)在2，)上为增函数，则f(x)0在2，)上恒成立，即2x0在2，)上恒成立，即a2x3在2，)上恒成立，只需a(2x3)min，x2，)，a16.a的取值范围是(，162解：(1)f(x)axb2bb2，当且仅当ax1时，f(x)取得最小值为b2.(2)由题意得：f(1)ab，f(x)af(1)a，由得：a2，b1.3解：(1)f(x)是xR上的奇函数，f(0)0.设x(1,0)，则x(0,1)，f(x)f(x)，f(x)，f(x)(2)设0x1x21，f(x1)f(x2)，0x1x21，201，f(x1)f(x2)0，f(x)在(0,1)上为减函数(3)f(x)在(0,1)上为减函数，f(x)0，故有20n2400n7200，解得2n0，f(x)exa，由f(x)exa0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增即f(x)在xln a处取得极小值，且为最小值，其最小值为f(ln a)eln aaln a1aaln a1.(2)f(x)0对任意的xR恒成立，即在xR上，f(x)min0.设g(a)aaln a1.由(1)知g(a)为f(x)的最小值，即g(a)0.由g(a)1ln a1ln a0，得a1.易知g(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减，g(a)在a1处取得最大值，而g(1)0，因此g(a)0的解为a1，a1.(3)由(2)知，对任意实数x均有exx10，即1xex.令x(nN*，k0,1,2,3，n1)，则01.n()nek.nnnne(n1)e(n2)e2e110x(1,1)f(x)的增区间为(1,1)，故当0x1x20，即k0，故x0(1,1)由于f(x0)f(x0)，故只需要证明x0(0,1)时结论成立由k，得f(x2)kx2f(x1)kx1，记h(x)f(x)kx，则h(x2)h(x1)h(x)f(x)k，则h(x0)0，设g(x)，x(0,1)，g(x)x0时，有f(x)f(x0)k，此时h(x)0，h(x)为减函数当x0，h(x)为增函数所以h(x0)为h(x)的唯一的极大值，因此要使h(x2)h(x1)，必有x1x0x2.综上，有x1|x0|0，22，令f(x)0得2x；令f(x)，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由(1)知，a1时，f(x)ln(x2)(x1)，此时f(x)的单调递增区间为(2，1)，单调递减区间为(1，)，x2时，f(x)f(1)，即ln(x2)(x1)ln 100，ln(x2)x1.令g(x)ln(x2)1，则g(x).当x(2，1)时，g(x)0，当x2时，g(x)g(1)即ln(x2)10.ln(x2)1.由可知，当x2时，1ln(x2)x1.8(1)解：设曲线yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2a，g(x)，依题意得即由x02a，得x0a或x03a(舍去)，则ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t0)，则h(t)2t(13ln t)，由h(t)0得t或t0(舍去)当t变化时，h(t)，h(t)的变化情况如下表：t(0，)(，)h(t)0H(t)极大值于是函数h(t)在(0，)上的最大值为h()，即b的最大值为.(2)证明：设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2ln xb(x0)，则F(x)x2a(x0)，由F(x)0得xa或x3a(舍去)当x变化时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，)F(x)0F(x)极小值结合(1)可知函数F(x)在(0，)上的最小值是F(a)f(a)g(a)0.故当x0时，有f(x)g(x)0，即当x0时，f(x)g(x)
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