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专题二函数与导数第3讲导数及其应用真题试做1(2020辽宁高考，文8)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)2(2020辽宁高考，文12)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A1 B3 C4 D83(2020天津高考，文20)已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(3)当a1时，设函数f(x)在区间t，t3上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)M(t)m(t)，求函数g(t)在区间3，1上的最小值考向分析文科用从近三年高考来看，该部分高考命题有以下特点：从内容上看，考查导数主要有三个层次：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；(3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现热点例析热点一导数的几何意义【例1】(2020安徽高考，文17)设定义在(0，)上的函数f(x)axb(a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx，求a，b的值规律方法 1.导数的几何意义：函数yf(x)在x0处的导数f(x0)的几何意义是：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)2求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点xx0的导数f(x0)，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)已知或求得切点坐标P(x0，f(x0)，由点斜式得切线方程为yy0f(x0)(xx0)特别提醒：当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为xx0；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解变式训练1 (1)设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a_；文科用(2)设f(x)xln x1，若f(x0)2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为_热点二利用导数研究函数的单调性【例2】文科用已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)f(x)在1，)上单调，求实数a的取值范围规律方法 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间内恒成立问题求解解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想变式训练2 已知函数f(x)xa(2ln x)，a0.讨论f(x)的单调性热点三利用导数研究函数极值和最值问题已知函数f(x)x3ax23x，【例3】(1)若f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由规律方法 利用导数研究函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求函数f(x)的导数f(x)；(3)若求极值，则先求出方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左右边f(x)的符号，求出极值当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解文科用变式训练3 设aR，函数f(x)ax33x2.(1)若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若函数g(x)f(x)f(x)，x0,2在x0处取得最大值，求a的取值范围思想渗透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题转化与化归常用的方法是等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的已知函数f(x)x(ln xm)，g(x)x3x.(1)当m2时，求f(x)的单调区间；(2)若m时，不等式g(x)f(x)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当m2时，f(x)x(ln x2)xln x2x，定义域为(0，)，且f(x)ln x1.由f(x)0，得ln x10，所以xe.由f(x)0，得ln x10，所以0xe.故f(x)的单调递增区间是(e，)，递减区间是(0，e)(2)当m时，不等式g(x)f(x)，即x3xx恒成立由于x0，所以x21ln x，即x2ln x，所以a .令h(x) ，则h(x)，由h(x)0得x1.且当0x1时，h(x)0；当x1时，h(x)0，即h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以h(x)在x1处取得极大值h(1)，也就是函数h(x)在定义域上的最大值因此要使a恒成立，需有a，此即为a的取值范围1.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3xf(1)x2，则f(1)()A1 B2 C1 D22曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.3已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，不等式f(x)xf(x)0成立，若a30.3f(30.3)，blog3f(log3)，clog3f，则a，b，c间的大小关系是()Aabc BcbaCcab Dacb4(2020皖北协作区联考，文10)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)(xR)，则不等式f(x2)的解集为()A(1，) B(，1) C(1,1) D(，1)(1，)5三次函数f(x)，当x1时有极大值4；当x3时有极小值0，且函数图象过原点，则f(x)_.6已知函数f(x)x33x29xa(a为常数)在区间2,2上有最大值20，那么此函数在区间2,2上的最小值为_7已知函数f(x)axln x(aR)(1)若a1，求曲线yf(x)在x处切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设g(x)2x，若对任意x1(0，)，存在x20,1，使f(x1)g(x2)，求实数a的取值范围参考答案命题调研明晰考向真题试做1B解析：对函数yx2ln x求导，得yx(x0)，令解得x(0,1因此函数yx2ln x的单调递减区间为(0,1故选B.2C解析：如图所示，由已知可设P(4，y1)，Q(2，y2)，点P，Q在抛物线x22y上，P(4,8)，Q(2,2)，又抛物线可化为yx2，yx，过点P的切线斜率为y4，过点P的切线为y84(x4)，即y4x8.又过点Q的切线斜率为y2，过点Q的切线为y22(x2)，即y2x2.联立解得x1，y4，点A的纵坐标为4.3解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00F(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0a.所以，a的取值范围是.(3)a1时，f(x)x3x1.由(1)知f(x)在3，1上单调递增，在1,1上单调递减，在1,2上单调递增当t3，2时，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上单调递增，在1，t3上单调递减因此，f(x)在t，t3上的最大值M(t)f(1)，而最小值m(t)为f(t)与f(t3)中的较小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，当t3，2时，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上单调递增，因此f(t)f(2)，所以g(t)在3，2上的最小值为g(2).当t2，1时，t31,2，且1,1t，t3下面比较f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由f(x)在2，1，1,2上单调递增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又f(1)f(2)，f(1)f(2)，从而M(t)f(1)，m(t)f(1).所以g(t)M(t)m(t).综上，函数g(t)在区间3，1上的最小值为.精要例析聚焦热点热点例析【例1】 解：(1)(方法一)由题设和均值不等式可知，f(x)axb2b，其中当且仅当ax1时，等号成立，即当x时，f(x)取最小值为2b.(方法二)f(x)的导数f(x)a，当x时，f(x)0，f(x)在上递增；当0x时，f(x)0，f(x)在上递减所以当x时，f(x)取最小值为2b.(2)f(x)a.由题设知，f(1)a，解得a2或a(不合题意，舍去)将a2代入f(1)ab，解得b1.所以a2，b1.【变式训练1】 (1)1解析：yax2，y2ax，y|x12a.又yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，2a2，a1.(2)2xye10解析：因为f(x)xln x1，所以f(x)ln xxln x1.因为f(x0)2，所以ln x012，解得x0e，y0e1.由点斜式得，f(x)在点(e，e1)处的切线方程为y(e1)2(xe)，即2xye10.文科用【例2】 解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，)，当a2时，f(x)2x，故f(x)的单调递减区间是(0,1)(2)由题意得g(x)2x，函数g(x)在1，)上是单调函数若g(x)为1，)上的单调增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立，设(x)2x2，(x)在1，)上单调递减，(x)max(1)0，a0.若g(x)为1，)上的单调减函数，则g(x)0在1，)上恒成立，不可能实数a的取值范围为a0.【变式训练2】 解：f(x)的定义域是(0，)，f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0即0a2时，对一切x0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x1x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增【例3】 解：(1)f(x)3x22ax3.f(x)在1，)上是增函数，f(x)在1，)上恒有f(x)0，即3x22ax30在1，)上恒成立，则必有1且f(1)2a0.a0.(2)依题意，f0，即a30.a4，f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30，得x1，x23.则当x变化时，f(x)与f(x)变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812f(x)在1,4上的最大值是f(1)6.(3)函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x34x23xbx恰有3个不等实根x34x23xbx0，x0是其中一个根，方程x24x3b0有两个非零不等实根b7且b3.存在满足条件的b值，b的取值范围是b7且b3.【变式训练3】 解：(1)f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1.经验证，当a1时，x2是函数yf(x)的极值点(2)由题设，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)当g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)时，g(0)g(2)，即020a24，得a.反之，当a时，对任意x0,2，g(x)x2(x3)3x(x2)(2x2x10)(2x5)(x2)0，而g(0)0，故g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)综上，a的取值范围为.创新模拟预测演练1.A解析：f(x)3f(1)2x，令x1，得f(1)3f(1)2，f(1)1.故选A.2B解析：对y求导得y，当x时，y|x.3C解析：设g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)0，当x0时，g(x)xf(x)为减函数又g(x)为偶函数，当x0时，g(x)为增函数130.32,0log31，log32，g(2)g(30.3)g(log3)，即cab，故选C.4D解析：f(x)对xR恒成立，令g(x)f(x)x，可知g(x)f(x)0对xR恒成立，即g(x)在R上递减，且g(1)f(1).f(x2)可转化为f(x2)，即g(x2)g(1)，x21，得x1或x1.5x36x29x解析：设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc.由题意，有即解得故f(x)x36x29x.67解析：f(x)3x26x90，得x1或x3(舍去)f(2)2a，f(1)5a，f(2)a22，a2220，a2.故最小值为f(1)7.7解：(1)f(x)1(x0)，f123.故曲线yf(x)在x处切线的斜率为3.(2)f(x)a(x0)当a0时，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时由f(x)0，得x，在区间上f(x)0，在区间上f(x)0.所以，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)由题可知，若对任意x1(0，)，均存在x20,1，使得f(x1)g(x2)，转化为f(x)maxg(x)max，而g(x)max2.由(2)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，值域为R，故不符合题意(或者举出反例：存在f(e3)ae332，故不符合题意)当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，f1ln1ln(a)，所以21ln(a)，解得a.所以，a的取值范围为.
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