【第一方案】高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形第七节 解三角形的应用举例练习

第4章 第7节三角函数、解三角形第二节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(65分30分)1在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底俯角分别为30，60，则塔高为()A.米 B.米C.米 D.米解析：如图，BEACDCtan(9060)，DE.塔高AB200(米)答案：A2如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是()A，a，b B，aCa，b， D，解析：利用余弦定理，可由a，b，或，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，求出AB.当只知、时，无法计算AB.答案：D3(2020天星教育)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里解析：如图，由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，从而ACB45.在ABC中，由正弦定理，得BCsin3010.故选A.答案：A4如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20()海里/小时B20()海里/小时C20()海里/小时D20()海里/小时解析：由题意知NMS153045，MNS6045105，由正弦定理得，MN10()，货轮的速度为20()(海里/小时)答案：B5(2020泰州模拟)如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10米至D处，测得顶端A的仰角为4，则的值为()A15 B10C5 D20解析：由条件知ADC中，ACD2，ADC1804，ACBC30，ADCD10，则由正弦定理得，cos2.2为锐角，230，15.答案：A6甲船在岛B的正南A处，AB10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是()A. min B. hC21.5 min D2.15 h解析：如图，设航行t小时后，两船相距y km.则y228t220t100(t0)，当t小时小时分钟时两船相距最近答案：A二、填空题(35分15分)7(2020济宁模拟)如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要_小时到达B处解析：由题意，对于CB的长度，由余弦定理，得CB2CO2OB22COOBcos120100400200700.CB10，甲船所需时间为(小时)答案：8(2020吉林模拟)地上画了一个角BDA60，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为_米解析：如图，设BDx cm，则142102x2210xcos60，x210x960，(x16)(x6)0，x16或x6(舍)答案：169(2020辽源模拟)在ABC中，BC1，B，当ABC的面积等于时，tanC_.解析：SABCacsinB，c4.由余弦定理：b2a2c22accosB13，cosC，sinC，tanC2.答案：2三、解答题(共37分)10(12分)(2020海南，宁夏高考)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤解析：方案一：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示)第一步：计算AM.由正弦定理AM；第二步：计算AN.由正弦定理AN；第三步：计算MN.由余弦定理MN方案二：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示)第一步：计算BM.由正弦定理BM；第二步：计算BN.由正弦定理BN；第三步：计算MN.由余弦定理MN.11(12分)(2020福州模拟)如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值解析：CPOB，CPOPOB60，OCP120.在POC中，由正弦定理得，CPsin.又，OCsin(60)因此POC的面积为S()CPOCsin120sinsin(60)sinsin(60)sin(cossin)2sincossin2sin2cos2sin(2)时，S()取得最大值为.12(13分)(2020大连模拟)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上，已知AB5 km.(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C和景点D之间的距离解析：(1)在ABD中，ADB30，AD8 km，AB5 km，设DBx km，则由余弦定理得5282x228xcos30，即x28x390，解得x43.438，舍去，x43，这条公路长为(43)km.(2)在ADB中，sinDAB，cosDAB.在ACD中，ADC3075105，sinACDsin180(DAC105)sin(DAC105)sinDACcos105cosDACsin105.在ACD中，CD(km)