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第四节 解析几何的综合应用 解析几何是历年高考的热点，每年高考卷上选择题、填空题、解答题都会出现，基本呈现稳定的态势，而且解答题难度较大，综合性强，且经常以压轴题的形式出现，入手容易但计算量大，又与其他知识综合命题，所以成了大部分学生在高考中的心理障碍，是解题时的“鸡肋”复习时如何突破这块知识点，是我们亟待解决的问题.难度值跨度比较大，在0.30.8之间.考试要求 （1）了解直线、曲线的实际背景；（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其几何性质；（4）了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道其几何性质；（5）了解圆锥曲线的简单应用；（6）掌握数形结合、等价转化的思想方法.题型一 有关圆知识点的应用例1、在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为（1）求实数的取值范围；（2）求圆的方程；（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.点拨：根据二次函数图象的特点：开口向上，与轴交点为可以得出b的范围.又由圆是过抛物线与坐标轴三交点的圆和圆的一般方程的特点，可以用来表示圆的一般方程.再由方程的解和曲线方程的定义可以假设圆要过点且不依赖，将该点坐标代入圆的方程中，整理变形，再观察验证圆是否过定点.解：（1）令，得抛物线与轴交点是，令，由题意且，解得且.（2）设所求圆的一般方程为，令得，它与是同一个方程，故，F=b，令得，此方程有一个根为，代入得所以圆的方程为.（3）圆过定点.证明如下：假设圆过定点(不依赖于)将该点的坐标代入圆的方程,并变形为，为使式对所有满足的都成立，必须有，结合式解得或经检验知点均在圆上，因此圆过定点.易错：（1）中学生很有可能直接解得而没；（2）中没有意识到令，与是同一个方程没解出，；（3）对方程不知道怎么下手，从而得不出.变式与引申1.已知以点为圆心的圆与轴交于点、与轴交于点、，其中为原点.（1）证明：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程.题型二 圆锥曲线的定义及应用例2 ：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）.（A） （B） （C） （D）点拨：利用双曲线的定义及直角三角形面积的两种表示形式，建立方程组再求解.解：连AF1，则AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知： ，. ， ， .e1，取.故选D.注：本题若求出点A的坐标，再代入双曲线方程也可求出.易错点：（1）正确应用相应曲线的定义至关重要，否则解题思路受阻.（2）由直角三角形面积的两种表示形式得出关系式是值得注意的问题.变式与引申2.双曲线=1(b)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5，|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_.题型三 圆锥曲线的几何性质图例3、如图所示，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴端点的连线（1）、求椭圆的离心率；（2）、设是椭圆上任意一点，是右焦点，是左焦点，求的取值范围；（3）、设是椭圆上任意一点，当时，延长与椭圆交于一点P，若的面积为，求此时椭圆的方程.点拨：从着手，寻找、的关系，最后求得离心率；在焦点三角形中，用余弦定理，求得的范围，从而求得的范围；则与椭圆相交，求得弦的长和点到的距离，由的条件求得椭圆方程中的、，从而求得方程.解：（1）轴 代入椭圆方程得， . 又且，故从而 当且仅当时，上式成立.故.（3）设椭圆方程为直线的方程为代入椭圆方程，得.又点到的距离由得故.所求椭圆方程为.（注：此问亦可用求得）点评：本例中第（1）问是课本题，第（2）（3）问是该题的引申，像这种源与课本，又有拓宽引申的题常常是高考试题的来源之一，应引起大家的重视，注意掌握好这一类问题.变式与引申3.已知抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切，则p的值为（ ）A.B.1C.2D.4题型四 直线与圆锥曲线的关系【例4】设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若|OF|=a，|PQ|=b，求OPQ的面积.点拨：结合抛物线方程的特点，可设方程为y2=4ax（a0），F（a，0），再运用抛物线的定义，找出、两点横坐标、关系，最后设过方程的直线为（还要注意斜率存在与否的讨论）由求解即可.解：如图8所示，由题意知抛物线的方程为，F设，由抛物线的定义知：所以 由故设过F的弦的斜率为k，则其方程为将其与抛物线方程联立知：ky24ay4a2k=0 若斜率不存在，则其两个交点为（a，2a）与（a，2a），同样有 那么 因此：易错：（1）不会使用焦半径公式而导致运算复杂；（2）直接设过F的弦的斜率为k，则其方程为后面没有对斜率k是否存在进行讨论.变式与引申4（2020年高考四川卷文）过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（）当点P异于点B时，求证：为定值本节主要考察：（1）基础知识有圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.以及这些知识的综合应用.（2）基本方法有求圆锥曲线的定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化”等解析几何的基本方法.（3）基本思想有数形结合思想、方程思想、等价转化思想等.（4）基本能力有逻辑推理能力、运算求解能力、探究创新能力，并尝试考察解决实际问题的能力.点评：（1）圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，同时又是热点和压轴点之一，主要考察圆锥曲线的定义与性质，求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，以圆锥曲线为载体的探索性问题等.（2）恰当利用圆锥曲线的定义和几何特征，运用数形结合思想，可避免繁琐的推理和运算.（3）求圆锥曲线主要方法有定义法、待定系数法、相关点法，另外还有直接法、参数法等.（4）圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考命题点，它们源于课本，高于课本，应引起重视，注意掌握这类问题的求解方法与策略.如求离心率的大小或范围，只需列出关于基本量a、b、c的一个关系式即可.（5）求参数的最值或范围问题是圆锥曲线的一种常见问题，主要方法一是根据条件建立含参数的等式，再分离参数求其值域；另一是列出含参数的不等式，进而求之.列不等式的思路有运用判别式0或；点在圆锥曲线的内部或外部；利用圆锥曲线的几何意义（如椭圆中-axa）；根据三角形两边之和大于第三边（注意共线情况）等.（6）充分利用向量的工具作用，运用坐标法，把几何问题变为纯代数问题，体现解析几何的基本思想方法.（7）运用韦达定理的解题方法是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的核心方法，其解题步骤是“设”（点的坐标，直线、曲线方程）、“联”（联立方程组）、“消”（消去一元，得到一元二次方程）、“用”（ 运用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式等）、“判”（ 运用判别式检验、求参数的值或缩小参数的取值范围）.（8）关注解析几何中的探究创新问题，解题思路往往是先假设满足题意，即从承认结论、变结论为条件出发，然后通过归纳，逐步探索待求结论.（9）适当关注解析几何应用题，它体现圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.标准卷更重视应用意识的考查.（10）由于对双曲线的要求明显降低，以它作为载体的解析几何大题的可能性已减少，所以解析几何大题的最大可能素材是用坐标法解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.练习6-41.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点若，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 2.斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为（ ）A. B C D. 3.设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_.4已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：32404（）求的标准方程；（）请问是否存在直线满足条件：过的焦点；与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由5. 已知椭圆的右焦点为，离心率为 （）若，求椭圆的方程； （）设直线与椭圆相交于A，B两点，若，求的取值范围。【答案】变式与引申圆与直线不相交，不符合题意舍去，圆的方程为.2. 1提示：设F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1. 3. C提示：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为，因为抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切，所以 法二：作图可知，抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切与点（-1,0） 所以4解：（）由已知得，解得，所以椭圆方程为椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得，解得，代入直线的方程得 ，所以，故（）当直线与轴垂直时与题意不符设直线的方程为代入椭圆方程得解得，代入直线的方程得，所以D点的坐标为又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得因此，又所以故为定值习题6-41D提示：对于椭圆，因为，则 2C提示：设直线的方程为，则弦长.3. 提示：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题.（）方法一：假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，由消去，得 由，即，得将代入（*）式，得， 解得 所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或. 方法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意； 当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为，由消掉，得 ， 于是 ， 即 由，即，得将、代入（*）式，得 ，解得； 所以存在直线满足条件，且的方程为：或 整理得 ，因为，所以， 所以，即 高考资源网()来源：高考资源网
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