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第二节 需要构建模式的创新试题高考数学应用题的命题方向,是引导学生自觉地置身于现实生活的大环境中,关心身边的数学问题,了解社会,关心社会,形成健全的人格.题型一 构建指数函数模式的问题【例1】有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为立方米，每天流出湖泊的水量都是立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用表示某一时刻每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式： （），其中是湖水污染的初始质量分数.（）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （）求证：当时，湖泊的污染程度将越来越严重；（）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？点拨：本题结合实际生活中湖泊水质的问题，得到湖水污染指数的函数关系式，通过分析函数的特征，得到污染质量分数的情况.解析：（）为常数， 有， () 我们易证得， 则， .故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.()污染停止即，设经过天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，即，故需要天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.易错点：审题不清，未能理解湖水污染指数的函数关系式中各个参数之间的关系，对于较为复杂解析式没能找到影响函数单调性的参数.变式与引申1.设D和D1是两个平面区域,且.在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.已知有序实数对(a,b)满足a0,3,b0,2,则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是 .题型二 构建二次函数模式的问题【例2】一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）A人可在7米内追上汽车 B人可在10米内追上汽车C人追不上汽车,其间距离最近为5米 D人追不上汽车,其间距离最近为7米点拨：本题是一道加速行程问题, 需要运用物理现象建立数学模型，即汽车行程+25=人的行程，建立二次函数关系式解析：若经t秒人刚好追上汽车，则S+25=6 t ，由S= ，得考虑距离差故当t = 6时,d 有最小值7 , 即人与汽车最少相距7米, 故选D易错点：理解物理运动情境时出现了偏差，未能得到正确的二次函数关系式.变式与引申2.五位同学围成一圈依序循环报数,规定:第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 易错点：在归纳报数过程中出现的失误，这就要求同学将整个报数过程写出来.题型三 构建对勾函数模式的问题【例3】某工厂拟建一座平面图（如图9-3所示）为矩形且面积为的三级污水处理池，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.()写出总造价（元）与污水处理池长 ()的函数关系式； ()若由于地形限制，长、宽都不能超过，求的定义域； 图9-2-1()在条件()下，污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.点拨：本题给出一个实际问题的情景，如何设计污水处理池，使得造价最低.首先需要根据题意建立造价关于设计方案的函数模型，再根据条件求出函数的定义域，在求解函数的最值方面常见的方法是分析函数在定义域上的单调性，进而求最值.解析：()因污水处理水池的长为，则宽为，总造价为： ()由题设条件，解得，即函数定义域为()先研究函数在上的单调性，对于任意的，不妨设则，即又，即故函数在上是减函数，当时，取得最小值，此时 综上，当污水处理池的长为，宽为时，总造价最低，最低为45000元易错点：建立函数模型后为考虑函数定义域，对对勾函数的单调性不熟悉.【注】 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的对勾函数，是形如的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习. 我们发现学习过的均值不等式实际就是对勾函数的参数a，b同号时的特例，等号成立时能取到最值；当不能取到等号时就要用对勾函数的单调性来求函数的最值. 若a，b异号： （1）a0，b0时，在定义域内是增函数，递增区间为（-，0）和（0，+）, （2）a0，b0时，在定义域内是减函数，递减区间为（-，0）和（0，+）. 通过研究我们可以知道高中阶段的对勾函数的参数主要是a，b同号，求最值的应用，所以我们要熟悉对勾函数的图像、性质和单调性.本题考查的是学生对于对勾函数单调性的理解，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在上取得极小值，这一函数性质在不等式和导数中均有重要应用.学生可思考若不限制函数的定义域，此题的最优造价方案又将如何.变式与引申3.要建一间地面面积为20，墙高为的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）.已知含门一面的平均造价为300元，其余三面的造价为200元，屋顶的造价为250元.问怎样设计储藏室地面矩形的长与宽，能使总价最低，最低造价是多少？本节主要考查：近年高考应用题的背景始终以“贴近生活、背景公平、控制难度”为命题原则.随着学习能力、理性思维能力、创新意识逐步纳入高考考查的轨道，关心社会热点的结合新增内容的新颖的原创应用试题会大量出现.点评：所谓应用意识就是能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.情境创新问题，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，并将它抽象成数学(如函数、数列、概率、不等式、三角等)问题，运用相应的数学知识求解习题921设V是已知平面M上所有向量的集合.对于映射,记的象为.若映射满足:对所有及任意的实数都有,则称为平面M上的线性变换,现有下列命题:设为平面M上的线性变换,则;对,设,则为平面M上的线性变换;若是平面M上的单位向量,对,设,则为平面M上的线性变换;设是平面M上的线性变换,若共线,则也共线. 其中正确的命题序号是: .(把你认为正确的命题的序号都填上)2（2020年高考全国新课标卷文）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90，94）94，98）98，102）102，106）106，110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90，94）94，98）98，102）102，106）106，110频数412423210（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为：估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润3如图9-2-2，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块，中间部分是一片池塘，池塘的边缘曲线段为函数的图像，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路与曲线段相切（切点记为），并把该地块分为两部分记点到边距离为，表示该地块在直路 左下部分的面积 （1）求的解析式； （2）求面积的最大值4某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第100站一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束设棋子跳到第站的概率为；()求，；()求证:；()求玩该游戏获胜的概率【答案】习题9-21提示：答案为 容易判断该命题正确; ,所以该命题是正确的; 运用上面判断的方法可以判断该命题是错误的; ,所以该命题正确2解：（）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t94，由试验结果知，质量指标值t94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为（元）.3. 解：（1）因为，所以，所以过点的切线方程为，即，令，得，令，得.所以切线与轴交点，切线与轴交点.当即时，切线左下方的区域为一直角三角形，所以. 当 即时，切线左下方的区域为一直角梯形， 当即时,切线左下方的区域为一直角梯形,.综上 (2)当时, ， 当时, ，所以 4解：()依题意得：，()依题意，棋子跳到第站()有两种可能：第一种，棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到第站，又掷出正面，其概率为，即
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