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阶段性测试题八(立体几何初步)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2020南宁模拟)在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，所以“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件2(文)(2020太原一模)已知m，n，l1，l2表示直线，表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是()Am且l1Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2答案D解析对选项A，B，C都有与相交的情况只有选项D是两平面平行的判定，故选D.(理)(2020锦州一模)如图，空间四边形OABC中，a，b，c.点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则()A.abcBabcC.abcDabc答案B解析由向量加法法则可知()a(bc)abc.3(2020洛阳调研)三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有()这三条直线必共点；其中必有两条是异面直线；三条直线不可能共面；其中必有两条在同一平面内A4个 B3个C2个 D1个答案D解析三条直线两两垂直时，它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱)，也可能不共点(如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱AA1，AB，BC)，故结论不正确，也说明必有结论不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中的垂直同一条直线的两条直线平行，就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论，故三条直线不可能在同一个平面内，结论正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面(如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱AA1，BC和C1D1)，故结论不正确4(2020厦门一模)设a，b，c是空间的三条直线，是空间的两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b，且c时，若c，则bcC当b，且c是a在内的射影时，若ba，则cbD当b时，若b，则答案D解析D的逆命题是b，则b，显然不成立5(2020南昌一模)圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为()A.cm3 B.cm3C.cm3或cm3 D192cm3答案C解析分两种情况(1)12为底面圆周长，则2r12，r，V28(cm3)(2)8为底面圆周长，则2r8，r，V212(cm3)故选C.6(文)(2020江西文)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()答案D解析如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.(理)(2020安徽理)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328C488 D80答案C解析由三视图知该几何体的直观图如下图所示该几何体的下底面是边长为4的正方形上底面是长为4，宽为2的矩形，两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形宽为4，长为.S表4224(24)4242488.7(文)(2020烟台市模拟)设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中是真命题的为()A.bc B.cC. D.c答案C解析结合线面位置关系选C.(理)(2020焦作一模)已知直线AB，CD是异面直线，ACAB，ACCD，BDCD，且AB2，CD1，则异面直线AB与CD所成角的大小为()A30 B45C60 D75答案C解析设AB与CD所成的角为，则cos|cos，|，由于()201201，cos|.由于090，60.故异面直线AB与CD所成角的大小为60.8如下图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A4 B4C2 D2答案C解析由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥，根据三视图所提供的数据可得几何体的体积为V(22)2.点评本题考查空间几何体的结构、三视图、几何体的体积计算、空间想象能力及运算求解能力，属中档题9(文)(2020大纲全国卷文)已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则CD()A2 B.C. D1答案C解析本题考查了异面直线的距离的求法，正确画出图形，熟练掌握线面垂直的判定和性质，把问题转化到直角三角形中，利用勾股定理求解连接AD，设CDx，AD2AC2CD21x2.由题意：ABD为Rt，BDA90，AB2AD2BD2，41x21x，即CD.(理)(2020大纲全国卷理)已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A. B.C. D1答案C解析解法1：如图，在直二面角l中，ACl，AC，平面ABC平面BCD.过D作DHBC，垂足为H，则DH平面ABC，即DH为D到平面ABC的距离AC，BC，ACBC.在RtABC中，AC1，AB2，ACB90，BC.在RtBCD中，BC，BD1，CD.由BDCDBCDH得1DH，DH.解法2：如下图，连接AD，AB2，AC1，同解法1可得BC，CD.SRtACBACBC1.SRtBCDCDBD1.设D到平面ABC的距离为h，则由V三棱锥DABCV三棱锥ABCD得SABChSBCDAC，即h1，h.点评本题主要考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的有关定理和点到平面的距离以及空间想象能力和数据处理的能力10(文)(2020西安一模)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析本题考查异面直线所成角的定义，以及空间想象能力、基本运算能力如图所示，连接A1B，ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，A1BD1C，A1BE为异面直线BE与CD1所成的角AA12AB，设ABa，则AA12a，又E为AA1的中点，A1Ea，BEa，A1Ba，在A1BE中，由余弦定理，得cosA1BE.(理)(2020咸阳调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案D解析以B为原点，直线BC、BA、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(2,2,0)，B1(0,0,1)，C1(2,0,1)设平面BB1D1D的一个法向量n(x，y，z)，则，取n(1，1,0)，直线BC1的方向向量(2,0,1)，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为，满足sin.第卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11长方体ABCDA1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，ABAA11，BC，则A，B两点间的球面距离为_答案解析本题考查了组合体及球面距离的定义，需要有较强的空间想象能力，首先确定球心及球半径，球心即长方体的中心，即体对角线交点，连接AC1，BD1交于O点，进一步求出半径为1，AOB，球面距离R1.12(2020辽宁卷)如下图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_答案2解析由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1ABCD)，还原在正方体中，如图所示：多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，由正方体棱长为AB2知最长棱长为2.13(2020天津理)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案6解析本题主要考查几何体的三视图的还原图形根据三视图知还原后的图形为一个长方体上面放一个圆锥因而VV长方体V圆锥，又知长方体长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，从而求出体积为6.14(文)(2020安徽宣城一模)a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则ab.上述命题中正确的是_(只填序号)答案解析由基本性质4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面故不正确(理)(2020山东日照调研)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为_答案解析方法一：A1B1平面D1EF，G到平面D1EF的距离为A1到平面D1EF的距离，在A1D1E中，过A1作A1HD1E交D1E于H，显然A1H平面D1EF，则A1H即为所求，在RtA1D1E中，A1H.方法二：等体积法，设h为G到平面D1EF的距离VGD1EFVA1D1EFVFD1A1E，1h11，h.15(文)(2020福建文)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_答案解析本题考查线面平行由EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，知EFAC.所以由E是中点知EFAC.(理)(2020大纲全国卷)已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_答案解析本小题考查的内容是二面角的求法，可采用几何法或向量法方法一：(几何法)如图，延长FE交CB的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，连结AC，PBBC，CAP90.由三垂线定理，FAP90，FAC为二面角的平面角tanFAC.方法二：(向量法)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，令边长为3，A(3,0,0)，E(3,3,1)，F(0,3,2)，平面ABC的法向量为(0,0,1)，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，令x1，z3，y1，n(1，1,3)，令平面夹角为，cos，sin，tan.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)(2020郑州模拟)如下图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点(1)若AB2，PA4，求四棱锥PABCD的体积；(2)求证：EF平面PAD.解析(1)解：PD底面ABCD，AD平面ABCD，PDAD，AB2，AP4，PD2，VPABCDSABCDPD42.(2)证明：作FGDC交PD于点G，则G为PD的中点，连接AG，FG綊CD，又CD綊AB，故FG綊AE，四边形AEFG为平行四边形EFAG，又AG平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.17(本小题满分12分)一个多面体的直观图，正(主)视图(正前方观察)，俯视图(正上方观察)，侧(左)视图(左侧正前方观察)如下图所示(1)探求AD与平面A1BCC1的位置关系并说明理由；(2)求此多面体的表面积和体积解析从俯视图可得：底面四边形ABCD和侧面四边形A1C1CB是矩形又从正(主)视图可得BCAB，BCBA1，且ABBA1B，故BC面ABA1，又ABA1是正三角形三棱柱是正三棱柱(1)底面四边形ABCD是矩形，ADBC，又BC面A1BCC1，AD面A1BCC1.(2)依题意可得ABBCa，由VSh，又Ssin60aaa2，VSha2aa3，S侧ch3aa3a2，S表S侧2S底3a22a2(3)a2.所以此多面体的表面积和体积分别为(3)a2，a3.18(本小题满分12分)(文)(2020天津文)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明PB平面ACM；(2)证明AD平面PAC.解析(1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PBMO.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)证明：因为ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC，又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD，而ACPOO，所以AD平面PAC.(理)(2020安徽理)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)证明直线BCEF；(2)求棱锥FOBED的体积解析(1)证法1：(综合法)如下图所示，设G是线段DA延长线与线段EB的延长线的交点，由于OAB与ODE都是正三角形，且OD2，所以OB綊DE，OGOD2.同理，设G是线段DA延长线与线段FC延长线的交点，有OC綊DF，OGOD2.又由于G和G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合在GED和GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B，C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF.证法2：(向量法)过点F作FQAD，交AD于点Q，连接QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，从而FQQE，FQDQ.以Q为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系由条件知E(，0,0)，F(0,0，)，B(，0)，C(0，)则有(，0，)，(，0，)所以2，即得BCEF.(2)解：由OB1，OE2，EOB60，知SEOB，而OED是边长为2的正三角形，故SOED.所以S平行四边形OBEDSEOBSOED.过点F作FQAD，交AD于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ，所以VFOBEDFQS四边形OBED.19(本小题满分12分)(文)(2020郑州一模)如图所示，正三棱柱A1B1C1ABC中，点D是BC的中点，BCBB1，设B1DBC1F.求证：(1)A1C平面AB1D；(2)BC1平面AB1D.解析(1)连结A1B，设A1B与AB1交于E，连结DE.点D是BC中点，点E是A1B中点，DEA1C，A1C平面AB1D，DE平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)ABC是正三角形，点D是BC的中点，ADBC.平面ABC平面B1BCC1，平面ABC平面B1BCC1BC，AD平面ABC，AD平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，ADBC1.点D是BC的中点，BCBB1，BDBB1.，RtB1BDRtBCC1.BB1DCBC1，BDB1CC1B.且CBC1CC1B90，CBC1BDB190.BC1B1D，又ADB1DD，BC1平面AB1D.(理)(2020九江第一次模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AB5，AC4，BC3，AA14，点D在AB上(1)若D是AB中点，求证：AC1平面B1CD；(2)当时，求二面角BCDB1的余弦值解析(1)证明：连结BC1，交B1C于E，连结DE.直三棱柱ABCA1B1C1，D是AB中点，侧面BB1C1C为矩形，DE为ABC1的中位线，DEAC1.DE平面B1CD，AC1平面B1CD，AC1平面B1CD.(2)ACBC，如下图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.则B(3,0,0)，A(0,4,0)，A1(0,4,4)，B1(3,0,4)设D(a，b,0)(a0，b0)，点D在线段AB上，且，即.a，b.所以(3,0，4)，(3,4,0)，(，0)平面BCD的法向量为n(0,0,1)，设平面B1CD的法向量为n2(x，y,1)，由n20，n20，得，所以x，y4，n2(，4,1)设二面角BCDB1的大小为，cos|.所以二面角BCDB1的余弦值为.20(本小题满分13分)(文)(2020辽宁文)如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值解析(1)由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.(2)设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3，由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.(理)(2020广东理)如下图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB60，PAPD，PB2，E，F分别是BC，PC的中点(1)证明：AD平面DEF；(2)求二面角PADB的余弦值解析(1)证明：取AD中点G，连接PG，BG.四边形ABCD为菱形且E，G分别为BC，AD中点，则BG綊DE.又F为PC中点，则EFPB，则平面DEF平面GBP.G是AD中点且PAPD，PGAD.在ABG中，AG，AB1，且DAB60，由余弦定理得BG，AB2AG2BG2，则AGBG.PGBGG，AG平面PGB，即AD平面DEF.(2)解：由(1)知二面角PADB的平面角为PGB.在RtPGA中，PG.在PGB中，BG，PB2，由余弦定理知，cosPGB.即二面角PADB的余弦值为.21(本小题满分14分)(文)(2020合肥一模)如图所示，已知在三棱锥ABPC中，PAPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形(1)求证：DM平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积解析(1)证明：M为AB的中点，D为PB的中点，MDAP.又DM平面APC，AP平面APC，DM平面APC.(2)证明：PMB为正三角形，D为PB的中点，MDPB，MDAP，APPB.又APPC，PCBPP，AP平面PBC，BC平面PBC，APBC，ACBC，且ACAPA，BC平面APC.又BC平面ABC，平面ABC平面APC.(3)解：AP平面PBC，AP为三棱锥APBC的高MDAP，DM平面PBC，MD为三棱锥MPBC的高M为AB中点，D为PB中点，AP2MD，VAPBC2VMPBC.VMPCDVMBCD，VMDBCVAPBC，AB20，BC4，PB10，PC2，AP10，VAPBC40，VMDBC10，即VDBCM10.(理)(2020合肥质检)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小；(3)求点A到平面PCD的距离解析(1)在PAD中PAPD，O为AD中点，所以POAD，又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，故PO平面ABCD.(2)以O为坐标原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0，1,0)、B(1，1,0)、C(1,0,0)、D(0,1,0)、P(0，0,1)，(1,1,0)，(1，1，1)cos，即异面直线PB与CD所成的角是arccos.(3)设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，由(2)知(1,0,1)，(1,1,0)，则，即x0y0z0，取x01，得平面的一个法向量为n(1,1,1)又(1,1,0)，从而点A到平面PCD的距离d.
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