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单元质量检测(八)一、选择题1(2020云南模拟)设直线axbyc0的倾斜角为，且sincos0，则a，b满足()Aab1Bab1Cab0 Dab0解析：由sincos0，得tan1.135，即ab，ab0.答案：D2直线2xy20绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是()Ax2y40 Bx2y40Cx2y40 Dx2y40解析：由题意知所求直线与2xy20垂直又2xy20与y轴交点为(0，2)故所求直线方程为y2(x0)，即x2y40.答案：D3过点(1,3)且平行于直线x2y30的直线方程为()Ax2y70 B2xy10Cx2y50 D2xy50解法一：因为直线x2y30的斜率是，所以所求直线方程为y3(x1)，即x2y70.解法二：设所求直线方程为x2yc0，将点(1,3)代入得123c0，解得c7，所求直线方程为x2y70.答案：A4过点M(2,1)的直线l与x轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|MQ|，则l的方程是()Ax2y30 B2xy30C2xy50 Dx2y40解析：由题意知，M是线段PQ的中点设直线的方程为yk(x2)1，分别令y0，x0，得P(2，0)，Q(0,12k)，由中点坐标公式得2，k，所以直线的方程为y(x2)1，即x2y40.答案：D5直线x2y30与圆C：(x2)2(y3)29交于E、F两点，则ECF的面积为()A.B.C2D.解析：圆心(2，3)到EF的距离d.又|EF|24，SECF42.答案：C6双曲线1的焦点坐标为()A(，0)、(，0) B(0，)、(0，)C(5,0)、(5,0) D(0，5)、(0,5)解析：c2a2b216925，c5.答案：C7已知双曲线1(a)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为()A. B.C. D2解析：如右图所示，双曲线的渐近线方程为：yx.若AOB，则，tan.a.又c2，e.答案：A8已知圆的方程为x2y26x8y0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A10 B20C30 D40解析：由题意知圆的标准方程为(x3)2(y4)252，点(3,5)在圆内，点与圆心的距离为1，故最长弦长为直径10，最短弦长为24，四边形ABCD的面积S10420.答案：B9(2020厦门模拟)设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A7 B6C5或1 D9解析：由题意知双曲线焦点在x轴上，a24，a2，又双曲线实轴长为43，点P在双曲线左支上，|PF2|PF1|2a347.答案：A10设P为双曲线x21上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点若|PF1|PF2|32，则PF1F2的面积为()A6 B12C12 D24解析：由题意2a2，|PF1|PF2|PF2|2|PF1|6，|PF2|4，又2c2由余弦定理得：cosF1PF20三角形为直角三角形，SPF1F26412答案：B11已知双曲线C：1(a0，b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()Aa BbC. D.解析：圆的半径即为双曲线C的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为yx，即bxay0，所以rb.答案：B12设x1，x2R，常数a0，定义运算“*”；x1*x2(x1x2)2(x1x2)2，若x0，则动点P(x， )的轨迹方程是()Ay24ax By24ax(y0)Cx24ay(x0) Dx24ay解析：xa(xa)2(xa)24ax，动点P的轨迹方程为y2xa4ax(y0)答案：B二、填空题13在坐标平面内，与点A(1,3)的距离为，且与点B(3,1)的距离为3的直线共有_条解析：以A(1,3)为圆心，以为半径作圆A，以B(3,1)为圆心，以3为半径作圆B.|AB|23，两圆内切，公切线只有一条答案：114(2020余姚模拟)在ABC中，B(2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程ABC周长为10C1：y225ABC面积为10C2：x2y24(y0)ABC中，A90C3：1(y0)则满足条件、的轨迹方程分别为_(用代号C1、C2、C3填入)解析：若条件是，则|AB|AC|64，故A点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去长轴两端点)，故方程为C3.若条件是，则|BC|y|10，|y|5，即y225，故方程为C1，若条件是，则A点轨迹是以BC为直径的圆(去掉B、C两点)，故方程为C2.答案：C3，C1，C215已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_解析：设正方形边长为1，则AB2c1，c.ACBC12a，ae1.答案：116在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆1上，则_.解析：由题意知椭圆的焦点是(4,0)和(4,0)，点B在椭圆上，|AB|BC|2a10，AC8.由正弦定理得.答案：三、解答题17已知方程x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m；解：(1)(x1)2(y2)25m，m0)上运动，点P是线段MN的中点，且|MN|2，动点P的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；(2)设m时，过点A(，0)的直线l与曲线C恰有一个公共点，求直线l的斜率解：(1)设P(x，y)，M(x1，mx1)，N(x2，mx2)，依题意得消去x1，x2，整理得1，当m1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当0mb0)，A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1x24，y1y22.又kAB，即.A、B在椭圆上，有1，1，得0，.a24b2.椭圆方程变为x24y24b2.直线AB的方程为y1(x2)，即yx2.把直线方程代入椭圆方程得x24(x2)24b2，即x24x82b20，x1x24，x1x282b2.|AB|x1x2|，101()2(x1x2)24x1x2164(82b2)，解得b23，a212.所求椭圆方程为1.21如右图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB30.曲线C是满足|MA|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围解：(1)解法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(，1)，依题意，得|MA|MB|PA|PB|2|AB|4，曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2,2a2，a22，b2c2a22.曲线C的方程为1.解法二：同解法一建立平面直角坐标系，则依题意可得|MA|MB|PA|PB|0，b0)，则由，解得a2b22.曲线C的方程为1.(2)依题意，可设直线l的方程为ykx2，代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx60直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，k(，1)(1,1)(1，)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由式得x1x2，x1x2，于是|EF|，而原点O到直线l的距离d，SOEFd|EF|.若OEF面积不小于2，即SOEF2，则有2k4k220，解得k.综合、知，直线l的斜率的取值范围为，1)(1,1)(1，22已知定点C(1,0)及椭圆x23y25，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点(1)若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；(2)在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，得yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由线段AB中点的横坐标是，得，解得k，适合.所以直线AB的方程为xy10，或xy10.(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使为常数()当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1x2，x1x2.所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.将代入，整理得m2m2m22m.注意到是与k无关的常数，从而有6m140，m，此时.()当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(1，)、(1，)，当m时，亦有.综上，在x轴上存在定点M(，0)，使为常数
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