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第4章三角函数、解三角形一、选择题(65分30分)1ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若ab，A2B，则cosB()A.B.C. D.解析：由题意得2cosB，cosB.答案：B2(2020济宁模拟)已知cosAsinA，A为第四象限角，则tanA等于()A. B.C D解析：由已知可得sin2A，所以(cosAsinA)21sin2A，故cosAsinA，又cosAsinA，所以，cosA，sinA.所以tanA.答案：C3在锐角三角形ABC中，设xsinAsinB，ycosAcosB，则x、y的大小关系为()Axy Bxy Dxy解析：yxcosAcosBsinAsinBcos(AB)cosC，ABC是锐角三角形，cosC0，yx0，y0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是()Ak，k，kZ Bk，k，kZCk，k，kZ Dk，k，kZ解析：f(x)sinxcosx2sin(x)因为函数yf(x)的图象与y2的两个相邻交点的距离为，故函数yf(x)的周期为.所以.即2.所以f(x)2sin(2x)令2k2x2k，kZ得2k2x2k，kZ即kxk(kZ)答案：C二、填空题(35分15分)7(2020烟台模拟)若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为_解析：设xa与f(x)sinx的交点为M(a，y1)，xa与g(x)cosx的交点为N(a，y2)，则|MN|y1y2|sinacosa|sin(a)| .答案：8(2020天津模拟)已知f(x)sin(x)cos(x)，则f(1)f(2)f(2 008)f(2 009)_.解析：f(x)sin(x)cos(x)2sin(x)2sinx，f(x)的周期T8.又f(1)f(2)f(8)0，f(1)f(2)f(2 008)f(2 009)f(1)25102sin.答案：9某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d_，其中t0,60解析：经过t(s)秒针转了弧度，5sin，d10sin.答案：10sin三、解答题(共37分)10(12分)已知函数f(x)12sin2(x)2sin(x)cos(x)求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调递增区间解析：f(x)cos(2x)sin(2x)sin(2x)sin(2x)cos2x.(1)函数f(x)的最小正周期是T；(2)当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数f(x)cos2x是增函数，故函数f(x)的单调递增区间是k，k(kZ)11(12分)(2020安徽高考)设ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2Asin(B)sin(B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若12，a2，求b，c(其中bb知c6，b4.12(13分)(2020福建高考)如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsinx(A0，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求A，的值和M，P两点的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解析：法一：(1)依题意，有A2，3，又T，.y2sinx.当x4时，y2sin3，M(4,3)，又P(8,0)，MP5.(2)在MNP中，MNP120，MP5.设PMN，则060.由正弦定理得.NPsin，MNsin(60)，故NPMNsinsin(60)(sincos)sin(60)060，当30时，折线段赛道MNP最长亦即，将PMN设计为30时，折线段赛道MNP最长法二：(1)同法一；(2)在MNP中，MNP120，MP5，由余弦定理得MN2NP22MNNPcosMNPMP2，即MN2NP2MNNP25.故(MNNP)225MNNP()2.从而(MNNP)225，即MNNP.当且仅当MNNP时等号成立亦即，设计为MNNP时，折线段赛道MNP最长
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