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第12章计数原理、概率、随机变量及其分布章末整合(理)一、选择题(65分30分)1(2020广州模拟)在区间，上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为()A.B.C. D.解析：当x，时，cosx0，P.故选A.答案：A2(2020深圳模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18 B24C30 D36解析：由四名学生分到三个班，每个班至少分到一名学生可知，有一个班有2个人，另外两个班各1人，故共有C42A33种不同分法，其中甲、乙两名学生分到同一个班有A33种不同分法，所以满足题意的不同分法为C42A33A3330种答案：C3.如图，三行三列的方阵有9个数aij(i1,2,3；j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是() A. B.C. D.解析：从中任取三个数共有C9384种取法，没有同行、同列的取法有C31C21C116，至少有两个数位于同行或同列的概率是1.答案：D4(2020抚顺模拟)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A. B.C. D.解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P1.答案：B5(2020西宁模拟)用三种不同的颜色填涂右图33方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数共有()A48 B24C12 D6解析：可将9个区域标号如图：用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有A336种方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有A222种方法；剩余区域只有一种涂法，综上由分步乘法计数原理可知共有6212种涂法答案：C6(2020威海模拟)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a、b，则椭圆1的离心率e的概率是()A. B.C. D.解析：当ab时，e2b，符合a2b的情况有：当b1时，有a3,4,5,6四种情况；当b2时，有a5,6两种情况，总共有6种情况，则概率为.同理当a的概率也为，综上可知e的概率为.答案：D二、填空题(35分15分)7(2020辽宁高考)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为_解析：三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE共3种，则恰好排成英文单词BEE的概率为.答案：8若书架上有中文书5本，英文书3本，日文书2本，则随机抽取一本恰为外文书的概率为_解析：P.答案：9(2020南平模拟)“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为_元解析：设公司每月对这辆车收入为X元，则其分布列为：X1002 500P0.20.8故E(X)(100)0.22 5000.81 980元答案：1 980三、解答题(共37分)10(12分)在某电视台的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获100分，答对问题B可获200分，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题答题终止后，获得的总分将决定获奖的档次若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为、.(1)记先回答问题A的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)你觉得应先回答哪个问题才能使你得分更高？请说明理由解析：(1)X的分布列为：X0100300PE(X)010030075.(2)设先答问题B的得分为随机变量Y，则Y的分布列为X0200300PE(Y)020030062.5.E(X)E(Y)应先回答问题A所得的分较高11(12分)(2020东北六校联考)检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为，.(1)在该市的教室中任取一间，估计该间教室空气质量合格的概率；(2)如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A级的教室间数为X，并以空气质量为A级的频率作为空气质量为A级的概率，求X的分布列及期望值解析：(1)该间教室两次检测中，空气质量均为A级的概率为，该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级的概率为2，设“该间教室的空气质量合格”为事件E，则P(E)2.故估计该间教室的空气质量合格的概率为.(2)法一：由题意可知，X的取值0,1,2,3,4.P(Xi)C4i()i(1)4i(i0,1,2,3,4)随机变量X的分布列为：X01234PE(X)012343.法二：XB(4，)，E(X)43.12(13分)(2020扬州模拟)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；(2)X表示依方案乙所需化验次数，求X的期望解析：记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数依题意知A2与B2独立(1)A1A2B2.P(A1)，P(A2)，P(B2).P()P(A1A2B2)P(A1)P(A2B2)P(A1)P(A2)P(B2).所以P(A)1P()0.72.(2)X的可能取值为2,3.P(B1)，P(B2)，P(X2)P(B1)，P(X3)P(B2)，所以E(X)232.4.(文)一、选择题(6530分)1从12个同类产品中(其中有10个正品，2个次品)，任意抽取3个，下列事件是必然事件的是()A3个都是正品B至少有一个是次品C3个都是次品 D至少有一个是正品解析：在基本事件空间中，每一个事件中正品的个数可能是1,2,3个，而不可能没有答案：D2在20件产品中有3件次品，从中任取一件，取到正品的概率为()A. B.C. D.解析：从20件产品中任取一件共有20个基本事件，任取一件取到正品的基本事件数为17，所以概率为.答案：B3在区间(15,25内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17a20的概率是()A. B.C. D.解析：a(15,25，P(17a20).答案：C4某城市2020年的空气质量状况如表所示：污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染该城市2020年空气质量达到良或优的概率为()A. B.C. D.解析：所求概率为.答案：A5某班准备到效外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()A一定不会淋雨 B淋雨的可能性为C淋雨的可能性为 D淋雨的可能性为解析：基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为.答案：D6(2020银川模拟)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p(m，n)，q(2,1)，则向量pq的概率为()A. B.C. D.解析：向量pq，pq2mn0，n2m，满足条件的(m、n)有3个：(1,2)，(2,4)，(3,6)，P.答案：B二、填空题(3515分)7某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为_解析：设响n声时被接的概率为Pn，则P1，P2，P3，P4.故前四声内被接的概率为P1P2P3P4.答案：8在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2y21内的概率为_解析：区域为ABC内部(含边界)，则概率为P.答案：93粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为.若坑内至少有1粒种子发芽，则不需要补种，若坑内的种子都没有发芽，则需要补种，则甲坑不需要补种的概率为_解析：因为种子发芽的概率为，种子发芽与不发芽的可能性是均等的若甲坑中种子发芽记为1，不发芽记为0，每粒种子发芽与否彼此互不影响，故其基本事件为(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)，共8种而都不发芽的情况只有1种，即(0,0,0)，所以需要补种的概率是，故甲坑不需要补种的概率是1.答案：三、解答题(共37分)10(12分)(2020福建高考)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率解析：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，事件A包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A).11(12分)甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏(1)求在前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率；(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率解析：(1)掷一枚硬币三次，列出所有可能情况共8种：(上上上)，(上上下)，(上下上)，(下上上)，(上下下)，(下上下)，(下下上)，(下下下)；其中甲得2分、乙得1分的情况有3种，故所求概率p.(2)在题设条件下，至多还要2局，情形一：在第四局，硬币正面朝上，则甲积3分、乙积1分，甲获胜，概率为；情形二：在第四局，硬币正面朝下，第五局硬币正面朝上，则甲积3分、乙积2分，甲获胜，概率为.由概率的加法公式，甲获胜的概率为.12(13分)(2020普宁模拟)一个科研小组有6名成员，其中4名工程师，2名技术员，现要选派2人参加一个学术会议(1)选出的2人都是工程师的概率是多少？(2)若工程师甲必须参加，则有技术员参加这个会议的概率是多少？解析：把4名工程师编号为1、2、3、4，其中工程师甲编号为1；2名技术员编号为5、6，从中任选2人的所有可能结果如下：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6)共15种(1)从6人中选出的2人都是工程师，所包含的基本事件为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)共6种选出的2人都是工程师的概率是P1.(2)若工程师甲必须参加，且有技术员参加这个会议包括的基本事件是(1,5)、(1,6)，则工程师甲必须参加，且有技术员参加这个会议的概率是P2.
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