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第七章 不等式、推理与证明一、选择题(65分30分)1(2020天津高考)设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析：f(1)124163，当x0时，x24x63，解得x3或0x1；当x3，解得3xb0，则下列不等式中总成立的是()Aab B.Cab D.解析：ab0，.又ab，ab.答案：A3(2020诸城模拟)若2m4n2，则点(m，n)必在()A直线xy1的左下方 B直线xy1的右下方C直线x2y1的左下方 D直线x2y1的右上方解析：2m4n2m22n2，22，即m2n0，b0)的最大值为12，则的最小值为()A. B.C. D4解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线axbyz(a0，b0)过直线xy20与直线3xy60的交点A(4,6)时，目标函数zaxby(a0，b0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6，而()()2.答案：A二、填空题(35分15分)7(2020北京高考)若函数f(x)则不等式|f(x)|的解集为_解析：当x0时，|f(x)|，即，3x1，a43，S39，则通项公式an_.解析：由a11，a43，S39，得令xa1，yd得在平面直角坐标系中画出可行域如图所示符合要求的整数点只有(2,1)，即a12，d1，所以an2n1n1.答案：n1三、解答题(共37分)10(12分)某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为，因为操场周长为400，所以2x2400，即2xy400(0x200,0y0，解得a11.由S2a1a2(a2)且a20，解得a21.由S3a1a2a3(a3)且a30，解得a3.推测an.证明：(1)当n1时，等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时结论成立，即ak.这时，Sk(ak)().则由Sk1Skak1(ak1)，即ak1(ak1)，得ak122ak110.ak10，解得ak1，即nk1时结论也成立，由(1)，(2)可知an对一切正整数n都成立(文)(12分)(2020辽宁沈阳)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能出现的最大盈利率分别为100%和50%，可能出现的最大的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资的金额不超过10万元(1)为了确保资金亏损不超过1.8万元，请你给投资人设计一个投资方案，使得投资人获得的利润最大；(2)求投资人资金亏损不超过1万元的概率解析：(1)设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，z代表盈利金额则zx0.5y，由题意知作出可行域，如图，易知B点为最优解，解方程组得B(4,6)故zmax40.567，即甲项目投资4万元，乙项目投资6万元能使资金亏损不超过1.8万元的情况下盈利最大 (2)由题意可知，此题为几何概型问题，如图.P.12(13分)(2020广东六校联考)设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0，求证：(1)a0且20，f(1)0，所以c0,3a2bc0.由条件abc0，消去b，得ac0；由条件abc0，消去c，得ab0.故21.(2)抛物线f(x)3ax22bxc的顶点坐标为(，)，在21的两边乘以，得0，f(1)0，而f()0，所以方程f(x)0在区间(0，)与(，1)内分别有一实根故方程f(x)0在(0,1)内有两个实根
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