【备战】2020高考数学 应考能力大提升8.1

备战2020数学应考能力大提升典型例题例1 已知一四棱锥的三视图如下，是侧棱上的动点。（1）求四棱锥的体积；（2）是否不论点在何位置，都有？证明你的结论;（3）若点为的中点，求二面角的大小解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC=2. -2分-4分(2) 不论点E在何位置，都有BDAE-5分证明如下：连结AC，ABCD是正方形BDAC PC底面ABCD 且平面BDPC-7分又BD平面PAC不论点E在何位置，都有AE平面PAC 不论点E在何位置，都有BDAE - -9分(3) 解法1：在平面DAE内过点D作DGAE于G，连结BGCD=CB,EC=EC, ED=EB, AD=AB EDAEBABGEA 为二面角DEAB的平面角-12分BCDE, ADBC ADDE在RADE中=BG在DGB中，由余弦定理得=-14分解法：以点C为坐标原点，CD所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则,从而-11分设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由法向量的性质可得：，令，则，-13分设二面角DAEB的平面角为，则例2 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ， （III）又由题设，平面的一个法向量为 创新题型1如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。 参考答案1.【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法：（）故。所以。又.故在，即.故当时，直线。（）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则依题意有：，解得.