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备战2020数学应考能力大提升典型例题例1 求下列函数的导数: (1)yx5x33x2; (2)y(3x34x)(2x1); (3)y.解:(1)y(x5)(x3)(3x2)()x44x26x.(2)法一:y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x,y24x39x216x4.法二:y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1) (3x34x)2 24x39x216x4.(3)y.例2 设函数f(x)ax,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解:(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时,y.又f(x)a,于是 故f(x)x.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y1,知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0),即y(x0)(1)(xx0).令x0,得y,从而得切线与直线x0的交点坐标为(0,); 令yx,得yx2x0,从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为定值,此定值为6.创新题型1.设函数, (1)证明:的导数;(2)若对所有x0都有,求a的取值范围. 2设函数f(x)ax(a,bZ),曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:函数yf (x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明:曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围的三角形的面积为定值,并求出此定值 参考答案 ,故在该区间为减函数,所以,则即与题意矛盾2.【解析】(1)f(x)a.于是解得或a,bZ,f(x)x.(2)证明:已知函数y1x,y2都是奇函数,函数g(x)x也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形而f(x)x (x1)1,可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位,再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的故图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形(3)证明:在曲线上任取一点,由f(x0)1,知过此点的切线方程为y(xx0)令x1,得y,切线与直线x1交点为.令yx,得x2x01,切线与直线yx交点为(2x01,2x01)直线x1与yx交点为(1,1)从而所围的三角形的面积为|2x011|2x02|2.所围的三角形的面积为定值2.
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