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(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的()A必要但不充分条件 B充分但不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：若ax2by2c表示双曲线，即1表示双曲线，则0，这就是说“ab0”是必要条件，然而若ab0，c可以等于0，即“ab0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：两式作差得：，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是1.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7(2020福建高考)若双曲线1(b0)的渐近线方程为yx，则b等于_解析：1的渐近线方程为ybx，yx，b，b1.答案：18(2020北京高考)已知双曲线1的离心率为2，焦点与椭圆1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(4,0)，故c4，且满足2，故a2，b2.所以双曲线的渐近线方程为yxx.答案：(4,0)，(4,0)yx9P为双曲线x21右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_解析：双曲线的两个焦点为F1(4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：5三、解答题(共3小题，满分35分)10已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程解：切点为P(3，1)的圆x2y210的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为3xy0.设所求双曲线方程为9x2y2(0)点P(3，1)在双曲线上，代入上式可得80，所求的双曲线方程为1.11设双曲线1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；(2)若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：(1)e2，c24a2，c2a23，a1，c2.双曲线方程为y21，渐近线方程为yx.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)2|AB|5|F1F2|，|AB|F1F2|2c10，10.又y1x1，y2x2,2xx1x2,2yy1y2，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)， 10，3(2y)2(2x)2100，即1.则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为的椭圆12(2020广州模拟)如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点，P为半圆弧上一点，且AB4，POB30，双曲线C以A、B为焦点且经过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若OEF的面积不小于2，求直线l的斜率的取值范围解：(1)以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A(2,0)，B(2,0)，P(，1)设双曲线实半轴长为a, 虚半轴长为b，半焦距为c，则2a|PA|PB|2，2c|AB|4，所以a，c2，从而b2c2a22，故双曲线C的方程是1.(2)据题意可设直线l的方程为ykx2，代入双曲线C的方程得，x2(kx2)22，即(1k2)x24kx60.因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，则即设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|EF|.又原点O到直线l的距离d，所以SOEFd|EF|.因为SOEF2，则2k4k220，解得k.综上分析，直线l的斜率的取值范围是，1)(1,1)(1，
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