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(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，由此若A，B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则AB180B某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳出an的通项公式解析：两条直线平行，同旁内角互补大前提A，B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角小前提AB180结论故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理答案：A2观察等式：sin230cos260sin30cos60，sin220cos250sin20cos50，sin215cos245sin15cos45.由此得出以下推广命题不正确的是()Asin2cos2sincosBsin2(30)cos2sin(30)cosCsin2(15)cos2(15)sin(15)cos(15)Dsin2cos2(30)sincos(30)解析：由已知30时，命题A才成立答案：A3下面给出了关于复数的四种类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量a的性质|a|2a2类比得到复数z的性质|z|2z2；方程ax2bxc0(a，b，cR)有两个不同实数根的条件是b24ac0可以类比得到：方程az2bzc0(a，b，cC)有两个不同复数根的条件是b24ac0；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义其中类比得到的结论错误的是()A BC D解析：选项中zi，则|z|2i2，选项若a、b、c为实数，则方程有实根答案：C4如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则(ihi).类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4)，若K，则(iHi)()A. B.C. D.解析：平面中的面积与空间中的体积类比，平面二维与空间三维类比答案：B5如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A. B.C.1 D.1解析：B(0，b)，F(c,0)，A(a,0)在“黄金双曲线”中，0.b2ac.而b2c2a2，c2a2ac.在等号两边同除以a2得e.答案：A6一同学在电脑中打出如下若干个圆：，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 012个圆中共有的个数是()A61 B62C63 D64解析：作如下分类，第n个前共有小球的个数为由题意知2020n61.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列解析：根据类比原理知该两空顺次应填，.答案：8(2020泉州模拟)给出下列不等式：2353225252,2454235253,25225252，.请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为_解析：由“2353225252”，“2454235253”，“2522525”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“”的形式再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“ababab”的形式再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：amnbmnambnanbm(a，b0，ab，m，n0)答案：amnbmnambnanbm(a，b0，ab，m，n0)9(2020南宁模拟)已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2.若把该结论推广到空间中，则有如下结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则_.解析：设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d，则由题意知dOM.设该四面体各个面的面积均为S，则由等体积法得：4SOMSAM，4OMAM，AOOMAM，从而3.答案：3三、解答题10已知：sin230sin290sin2150，sin25sin265sin2125.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明解：一般性的命题为sin2(60)sin2sin2(60).证明如下：左边cos(2120)cos2cos(2120)右边结论正确11已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1写出具有类似特性的性质，并加以证明解：类似的性质为：若M、N是双曲线1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明：设点M、P的坐标分别为(m，n)、(x，y)，则N(m，n)因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2m2b2.同理y2x2b2.则kPMkPN(定值)12设an是集合2t2s|0st，且s、tZ中所有的数从小到大排列成的数列，即a13，a25，a36，a49，a510，a612，将数列an各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表35691012(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行(2)求a100.解：用记号(s，t)表示s、t的取值，那么数列an中的项对应的(s，t)构成一个三角形表，第一行右边的数是“1”，第二行右边的数是“2”，第三行右边的数是“3”；于是第四行右边的数便是“4”；第五行右边的数是“5”，而左边的那个数总是从“0”开始逐个递增，因此(1)第四行数是202417,212418,222420,232424；第五行数是202533,212534,222536,232540,242548.(2)由1231391，知a100是第十四行中的第9个数，于是a1002821416640.
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