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(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1(2020日照模拟)若a(2，2，2)，b(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为()A.B.C D0解析：cos a，b.答案：C2.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于()A2B2C2D2解析： ，22a2cos a2.答案：B3下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若xyz (其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面其中不正确命题的个数是()A1 B2C3 D0解析：易知只有是正确的，其中对于，若O平面ABC，则、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面答案：B4.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，设OE和FD1所成的角为，则cos|cos，|.答案：B5(2020天津模拟)已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三向量共面，则实数等于()A. B.C. D.解析：由于a、b、c三向量共面，所以存在实数m，n，使得cmanb，即有，解得m，n，.答案：D6.二面角l为60，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，则CD的长为()A2a B.aCa D.a解析：ACl，BDl，60，且0，0，|2a.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7若A、B两点的坐标分别是A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin，1)，则|的取值范围是_解析：法一：|2(3cos2cos)2(3sin2sin)201312cos()，|cos()|1，|21,25，即|1,5法二：点A、B在同一平面内，且可以分别看作是有共同圆心(0,0)和半径分别为3和2的圆上的点，故|max5，|min1.答案：1,58(2020泰安模拟)已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示向量_.解析：如图，()()()(2)()(bca)答案：(bca)9已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_解析：中()22223()2，故正确；中，AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|0，故也不正确答案：三、解答题10已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，O为原点，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b?解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)假设存在一点E满足题意，即t (t0)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，此时点E的坐标为(，)11.如图，ABACBD1，AB平面，AC平面，BDAB，BD与平面成30角，求C、D间的距离解：AC，ACAB，0，过D作DD于点D，则DDCA，120，又ABBD，0，|2()21112()2，|，即C、D间的距离为.12(2020福州模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以、为边的平行四边形的面积；(2)若|a|且a分别与、垂直，求向量a的坐标解：(2，1,3)，(1，3,2)(1)因为cos，.所以sin，.所以S|sin，7.即以、为边的平行四边形面积为7.(2)设a(x，y，z)，由|a|，a，a，可得或所以a(1,1,1)或(1，1，1)
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