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(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1(2020潍坊模拟)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B. C. D.解析：一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P.答案：C2在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2 之间的概率为()A. B.C. D.解析：正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长介于6 cm到9 cm之间线段AB的长度为12 cm，则所求概率为.答案：C3四边形ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1解析：如图，根据几何概型概率公式得概率为P1.答案：B4若a，b在区间0，上取值，则函数f(x)ax3bx2ax在R上有两个相异极值点的概率是()A. B.C. D1解析：易得f(x)3ax22bxa，函数f(x)ax3bx2ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a0且其导函数的判别式大于0，即a0且4b212a20，又a，b在区间0，上取值，则a0，ba，满足点(a，b)的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，故所求的概率是.答案：C5在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2y21内的概率为()A. B.C. D.解析：区域为ABC内部(含边界)，则概率为P.答案：D6已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是()A. B.C. D.解析：当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P1.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7(2020南通、扬州、泰州模拟)在RtABC中，A90，AB1，BC2.在BC边上任取一点M，则AMB90的概率为_解析：如图，在RtABC中，作AMBC，M为垂足由题意知：AB1，BC2，可得BM，则AMB90的概率为：P.答案：8设0a2,0b的概率是_解析：由e得5，即5，b2a，在直角坐标系aOb内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为1，图中矩形的面积为2，由几何概型概率公式计算得所求的概率为.答案：9(2020广州模拟)图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是_解析：设长方体的高为h，则图(2)中虚线围成的矩形长为22h，宽为12h，面积为(22h)(12h)，展开图的面积为24h；由几何概型的概率公式知，得h3，所以长方体的体积是V133.答案：3三、解答题(共3小题，满分35分)10在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，求ADAC的概率解：射线CD在ACB内是均匀分布的，故ACB90可看成试验的所有结果构成的区域，在线段AB上取一点E，使AEAC，则ACE67.5可看成事件构成的区域，所以满足条件的概率为.11投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标(1)求点P落在区域C：x2y210上的概率；(2)若以落在区域C：x2y210上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M.在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C：x2y210上的点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种故点P落在区域C：x2y210上的概率为.(2)区域M为一个边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10，则豆子落在区域M上的概率为.12在区间0,1上任意取两个实数a，b，求函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率解：f(x)x2a0，故函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点等价于f(1)f(1)0，即(ab)(ab)0，得(ab)(ab)0，又0a1,0b1，所以得画出不等式组表示的区域，如图阴影部分，由得令a0，代入ab0，得所以阴影部分的面积为1.所以P.
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