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第5讲椭圆【2020年高考会这样考】1考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题2考查椭圆的方程及其几何性质3考查直线与椭圆的位置关系【复习指导】1熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程2掌握常见的几种数学思想方法函数与方程、数形结合、转化与化归等体会解析几何的本质问题用代数的方法解决几何问题基础梳理1椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形续表性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0；椭圆的焦点在y轴上0mn.两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e1)(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：中心是否在原点；对称轴是否为坐标轴双基自测1(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1或1 D以上都不对解析2a2b18，ab9，又2c6，c3，则c2a2b29，故ab1，从而可得a5，b4，椭圆的方程为1或1.答案C2(2020合肥月考)设P是椭圆1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10解析依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.答案D3(2020兰州调研)“3m5”是“方程1表示椭圆”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析要使方程1表示椭圆，应满足解得3m5且m1，因此“3m5”是“方程1表示椭圆”的必要不充分条件答案B4(2020淮南五校联考)椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21解析若a29，b24k，则c ，由即，得k；若a24k，b29，则c ，由，即，解得k21.答案C5(2020全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_解析根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)e，根据ABF2的周长为16得4a16，因此a4，b2，所以椭圆方程为1.答案1考向一椭圆定义的应用【例1】(2020青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.审题视点 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|PF2|2a，再利用，进而得解解析由题意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29.b3.答案3 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等【训练1】 已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6C4 D12解析由椭圆的定义知：|BA|BF|CA|CF|2a，周长为4a4(F是椭圆的另外一个焦点)答案C考向二求椭圆的标准方程【例2】(1)求与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)的椭圆方程(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程审题视点 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定解(1)由题意，设所求椭圆的方程为t(t0)，椭圆过点(2，)，t2，故所求椭圆标准方程为1.(2)设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，b212.故所求方程为1或1. 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2ny21(m0，n0，mn)，由题目所给条件求出m、n即可【训练2】 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程(2)已知椭圆1(ab0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，求椭圆的方程解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过点A(3,0)，1，a3，2a32b，b1，方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，椭圆过点A(3,0)，1，b3，又2a32b，a9，方程为1.综上所述，椭圆方程为y21或1.(2)由FMN为正三角形，则c|OF|MN|b1.b.a2b2c24.故椭圆方程为1.考向三椭圆几何性质的应用【例3】(2020北京)已知椭圆G：y21.过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值审题视点 (1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值解(1)由已知得，a2，b1，所以c.所以椭圆G的焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率为e.(2)由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为，此时|AB|.当m1时，同理可得|AB|.当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于当m1时，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因为|AB|2，且当m时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2. (1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)弦长公式l|x1x2| .【训练3】 (2020武汉质检)在RtABC中，ABAC1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为_解析设另一个焦点为F，如图所示，|AB|AC|1，ABC为直角三角形，114a，则a，设|FA|x，x，124c2，c，e.答案考向四椭圆中的定值问题【例4】(2020重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e， 一条准线的方程为x2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足：OO2O，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为 .问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由审题视点 (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P点解(1)由e，2，解得a2，c，b2a2c22，故椭圆的标准方程为1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OO2O得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即xx12x2，yy12y2.因为点M、N在椭圆x22y24上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220.所以P点是椭圆1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|PF2|为定值又因c，因此两焦点的坐标为F1(，0)，F2(，0) 本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点P，利用设而不求的方法求出P点的轨迹方程，从而找出定点【训练4】 (2020安徽)如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)求F1AF2的角平分线所在直线l的方程解(1)设椭圆E的方程为1(ab0)，由e，即，得a2c，得b2a2c23c2.椭圆方程可化为1.将A(2,3)代入上式，得1，解得c2，椭圆E的方程为1.(2)由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程为y(x2)，即3x4y60，直线AF2的方程为x2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数设P(x，y)为l上任一点，则|x2|.若3x4y65x10，得x2y80(因其斜率为负，舍去)于是，由3x4y65x10，得2xy10，直线l的方程为2xy10.规范解答16怎样求解与弦有关的椭圆方程问题【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数【示例】(本题满分12分)(2020天津)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程 第(1)问由|PF2|F1F2|建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点A、B的坐标或利用根与系数的关系求|AB|均可，再利用圆的知识求解解答示范 (1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2210，得1(舍)，或.所以e.(4分)(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.(6分)得方程组的解为不妨设A，B(0，c)，所以|AB|c.(8分)于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.(10分)因为d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520.得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.(12分) 用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个c)，这样可避免繁琐的运算而失分【试一试】 已知直线yx2和椭圆1(ab0)相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程尝试解答设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)则得：.kAB.又kOM，由得a24b2.由得：x24x82b20，x1x24，x1x282b2.|AB|x1x2|2.解得：b24.故所求椭圆方程为：1.
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