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第1讲不等关系与不等式【2020年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题基础梳理1不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式2比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有ab0ab；ab0ab；ab0ab.另外，若b0，则有1ab；1ab；1ab.3不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n2)；(6)可开方：ab0(nN，n2)一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方 一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围两条常用性质(1)倒数性质：ab，ab0；a0b；ab0,0cd；0axb或axb0.(2)若ab0，m0，则真分数的性质：；(bm0)；假分数的性质：；(bm0)双基自测1(人教A版教材习题改编)给出下列命题：abac2bc2；a|b|a2b2；aba3b3；|a|ba2b2.其中正确的命题是()A BC D解析当c0时，ac2bc2，不正确；a|b|0，a2|b|2b2，正确；a3b3(ab)(a2abb2)(ab)0，正确；取a2，b3，则|a|b，但a24b29，不正确答案B2限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()Av40 km/h Bv40 km/h Cv40 km/h Dv40 km/h答案D3(2020银川质检)已知a，b，cR，则“ab”是“ac2bc2”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析ab /ac2bc2，当c20时，ac2bc2；反之，ac2bc2ab.答案B4已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()Aadbc BacbdCacbd Dacbd解析由不等式性质知：ab，cdacbd.答案D5.与1的大小关系为_解析(1)(1)(1)0，1.答案1考向一比较大小【例1】已知a，b，c是实数，试比较a2b2c2与abbcca的大小审题视点 采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可解a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，当且仅当abc时取等号a2b2c2abbcca. 比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小【训练1】 已知a，bR且ab，则下列不等式中一定成立的是()A.1 Ba2b2Clg(ab)0 D.ab解析令a2，b1，则ab，2，故1不成立，排除A；令a1，b2，则a21，b24，故a2b2不成立，排除B；当ab在区间(0,1)内时，lg(ab)0，排除C；f(x)x在R上是减函数，ab，f(a)f(b)答案D考向二不等式的性质【例2】(2020包头模拟)若a0ba，cd0，则下列命题：(1)adbc；(2)0；(3)acbd；(4)a(dc)b(dc)中能成立的个数是()A1 B2 C3 D4审题视点 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假解析a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，(1)错误a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，(2)正确cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，(3)正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，(4)正确，故选C.答案C 在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等【训练2】 已知三个不等式：ab0；bcad；.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析命题1：若ab0，则bcad；命题2：若ab0，bcad，则；命题3：若，bcad，则ab0.答案D考向三不等式性质的应用【例3】已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4.求f(2)的取值范围审题视点 可利用待定系数法寻找目标式f(2)与已知式f(1)，f(1)之间的关系，即用f(1)，f(1)整体表示f(2)，再利用不等式的性质求f(2)的范围解f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.设m(ab)n(ab)4a2b.f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10. 由af(x，y)b，cg(x，y)d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围【训练3】 若，满足试求3的取值范围解设3x()y(2)(xy)(x2y).由解得1()1,22(2)6，两式相加，得137.考向四利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设abc，求证：0.审题视点 充分运用已知条件及不等式性质进行求证证明abc，cb.acab0，0.0.又bc0，0.0. (1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式【训练4】 若ab0，cd0，e0，求证：.证明cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.0.又e0，.难点突破15数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用一、作差法【示例】 (2020陕西)设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab BabCab D.ab二、作商法【示例】 若0x1，a0且a1，则|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小关系是()A|loga(1x)|loga(1x)|B|loga(1x)|loga(1x)|C不确定，由a的值决定D不确定，由x的值决定三、中间量法【示例】 若a20.6，blog3，clog2sin，则()Aabc BbacCcab Dbca
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