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(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分把答案填在题中横线上)1在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_解析：设抛物线y2mx，将点P(2,4)代入抛物线方程，m8，方程为y28x.答案：y28x2已知两定点F1(1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是_解析：依题意知，|PF1|PF2|F1F2|2，故点P的轨迹为线段F1F2.答案：线段F1F23以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_解析：由题意知圆心坐标应为(5,0)又因为点(5,0)到渐近线yx的距离为4，所以圆的方程为x2y210x90.答案：x2y210x904双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若P为双曲线上任意一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围为_解析：设P(x0，y0)，|PF1|eex0a，|PF2|eex0a，又|PF1|2|PF2|，ex0a2(ex0a)，即e.x0a，e3.又e1，1e3.答案：10，n0，故a，b，所以c.所以e2.又1，由得所以mn.答案：6设A、B是抛物线x24y上两点，O为原点，OAOB，A点的横坐标是1，则B点的横坐标为_解析：据题意可知A(1，)，故(1，)，设B(x0，)，故(x0，)，则OAOB0，即(1，)(x0，)x00x016.答案：167已知双曲线的方程是1，则以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是_，抛物线的准线方程是_解析：由双曲线方程1可知，焦点在x轴上，a2，所以右顶点坐标是(2，0)，即抛物线的焦点F(2，0)设抛物线方程为y22px(p0)由2得p4.所求抛物线方程为y28x，准线方程为x2.答案：y28xx28方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_解析：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则(m1)2m20.m且m0.所求实数m的取值范围为(，0).答案：(，0)9若双曲线1(k0)的离心率e(1,2)，则k的取值范围是_解析：显然k0，所以e(1,2)，解得12kn0)和双曲线1(ab0)有相同的左、右焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是_解析：取P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|()()ma.答案：ma11设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则F1PF2的周长为_解析：由双曲线的渐近线方程3x2y0，可知a2，故|F1F2|2；又|PF1|PF2|4，|PF2|7，故 F1PF2的周长为273210.答案：21012点P是椭圆1上一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，PF1F2的内切圆半径为，则当点P在x轴上方时，点P的纵坐标为_解析：PF1F2的周长l2a2c16，SPF1F2lR2cy0，166y0，y04.答案：413过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C.若2，则直线AB的斜率为_解析：如图，当倾斜角是锐角时，过B作BGl，则BGBF，.GCB30，GBC60.k.依对称性知k时适合题意答案：14过原点的直线与椭圆1交于A，B两点，F1，F2为椭圆的焦点，则四边形AF1BF2的面积的最大值是_解析：如图所示，四边形AF1BF2的面积等于SAF1F2SBF1F2，当点A，B分别与短轴的两个端点重合时，它们的面积最大(F1F2为底)，则四边形AF1BF2的面积的最大值为22cb2bc8.答案：8二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线的方程解：设双曲线方程为1(a0，b0)，依题意c，方程可化为1.由得(72a2)x22a2x8a2a40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，解得a22.双曲线的方程为1.16(本小题满分14分)椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点(1)求ABF2的周长；(2)若l的倾斜角为45，求ABF2的面积解：(1)ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|(|AF1|F1B|)|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)2a2a4a4416.(2)由1，知F1(，0)，F2(，0)设l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得25y218y810，所以|y1y2|.所以SABF2|F1F2|y1y2|.17(本小题满分14分)抛物线y与过点M(0，1)的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程解：法一：如图所示，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为ykx1.则k.由kOAkOB1，又y1，y2，则有1，即1.于是k1，直线l的方程为yx1.法二：由根与系数的关系，将直线ykx1与抛物线y联立，消去y，得x22kx20，由根与系数的关系知x1x22k，x1x22.又12k2kk，则直线l的方程为yx1.18(本小题满分16分)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，2)，F2(0,2)，离心率e.(1)求椭圆方程；(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的中点的横坐标为，求直线l的倾斜角的取值范围解：(1)由题意知2c4，所以c2，e，所以a3，b21，故椭圆方程为x21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入椭圆方程，得x1，x1，两式相减得(x1x2)(x1x2)0.因为x1x2，所以k.设M、N的中点为(x0，y0)，则x0，y0.又(x0，y0)在椭圆内部，即23，即k，或k0且0，即(1,0)(0,1)时，有1，120，0，x29，P点的轨迹是椭圆当0时，方程为x2y29，P点的轨迹是以原点O(0,0)为圆心，以3为半径的圆当120，解得1k3，x03.(2)若ABE是等边三角形，则点E到直线AB的距离d为|AB|的.由d，|AB|，得，整理得4k23，即k2，x0，故存在x0满足条件
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