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(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数m的值为_解析：由ab0，得32m(1)0，m6.答案：62已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.解析：法一：ab，1m2(2)，即m4，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)法二：ab，存在实数，使ab，(1,2)(2，m)，即(1,2)(2，m)解得b(2，4)，2a3bb3b2b(4，8)答案：(4,8)3已知|a|4，|b|6，a与b的夹角为60，则|3ab|_.解析：由|3ab|29a26abb2942646cos6062108，可求得|3ab|6.答案：64在ABC中，ABAC4，且8，则这个三角形的形状是_解析：由|cosA8，得cosA，所以A60，ABC是等边三角形答案：等边三角形5若A(1，2)，B(4,8)，C(5，x)，且A，B，C三点共线，则x_.解析：因为A，B，C三点共线，所以，共线所以存在实数k，使得k.又因为A(1，2)，B(4,8)，C(5，x)，所以(5,10)，(6，x2)，所以(5,10)k(6，x2)所以解得答案：106已知向量a(6,2)与b(3，k)的夹角是钝角，则k的取值范围是_解析：因为a，b的夹角是钝角，所以1cos0.又因为a(6,2)，b(3，k)，所以cos，即10.解得k9且k1.故所求k的取值范围为(，1)(1,9)答案：(，1)(1,9)7若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于x轴，b(2，1)，则a_.解析：设向量a的坐标为(m，n)，则ab(m2，n1)，由题设，得解得或a(1,1)或(3,1)答案：(1,1)或(3,1)8如图，半圆O中AB为其直径，C为半圆上任一点，点P为AB的中垂线上任一点，且|4，|3，则_.解析：()()()0(|2|2)(3242).答案：9给出下列命题：若a与b为非零向量，且ab时，则ab必与a或b中之一的方向相同；若e为单位向量，且ae，则a|a|e；aaa|a|3；若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线，其中假命题有_解析：命题中ab有可能为0，其方向是任意的，故错；命题中三个向量的数量积应为向量，故为假命题答案：10若向量(3，1)，n(2,1)，且n7，那么n_.解析：nn()nn752.答案：211一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_解析：由于质点处于平衡状态，所以F1F2F30，则F3(F1F2)，所以|F3|2F(F1F2)2F2F1F2F2242224416828，所以F32.答案：212(2020年高考四川卷改编)设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|216，|，则|等于_解析：|216，|4.又|4，|4.M为BC的中点，()，|2.答案：213(2020年高考辽宁卷改编)平面上O，A，B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于_解析：设a、b间的夹角为，则SOAB|a|b|sin|a|b|a|b| |a|b|.答案：14(2020年高考山东卷改编)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是_若a与b共线，则ab0；abba；对任意的R，有(a)b(ab)；(ab)2(ab)2|a|2|b|2.解析：若a(m，n)与b(p，q)共线，则mqnp0，依运算“”知ab0，即正确由于abmqnp，且banpmq，因此abba，即不正确对于，由于a(m，n)，因此(a)bmqnp，又(ab)(mqnp)mqnp，即正确对于，(ab)2(ab)2m2q22mnpqn2p2(mpnq)2m2(p2q2)n2(p2q2)(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，即正确故选.答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求实数k的值；(2)设d(x，y)满足(dc)(ab)且|dc|1，求d.解：(1)(akc)(2ba)，且akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0，k.(2)dc(x4，y1)，ab(2,4)，(dc)(ab)且|dc|1，解得或d或d.16(本小题满分14分)(6,1)，(x，y)，(2，3)，.(1)求x与y的关系式；(2)若有，求x、y的值及四边形ABCD的面积解：(1)(6,1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，(x4,2y)又，(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)(6,1)(x，y)(x6，y1)，(x，y)(2，3)(x2，y3)，且，0， 即(x6)(x2)(y1)(y3)0.又由(1)的结论x2y0，(62y)(2y2)(y1)(y3)0，化简得y22y30，y3或y1.当y3时，x6.于是有(6,3)，(0,4)，(8,0)|4，|8.S四边形ABCD|16.同理y1时，x2.于是有(2，1)，(8,0)，(0，4)|8，|4.S四边形ABCD|16.即或S四边形ABCD16. 17(本小题满分14分)如图所示，一艘小船从河岸A处出发渡河，小船保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处，如果小船保持原来的速度逆水向上游与岸成角的方向行驶，则经过12.5 min恰好到达正对岸B处，求河的宽度d.解：由题意作出示意图图1为船第一次运动速度合成图图2为船第二次运动速度合成图设河水流速为v水，船速为v船，由题意，得两次运动时间分别为t1，t2.沿河岸方向有BC|v水|t1；由第二次垂直河岸，有|v船|cos|v水|.将t110 min，t212.5 min，BC120 m代入以上各式，解得d200 m.所以河的宽度为200 m.18(本小题满分16分)已知abc0，且|a|3，|b|5，|c|7.(1)求a与b的夹角；(2)是否存在实数k，使kab与a2b垂直？解：(1)因为abc0，所以abc，所以|ab|c|，所以(ab)2|c|2，即a22abb2c2，所以ab，所以cos，所以60.(2)若存在实数k，使kab与a2b垂直，则(kab)(a2b)ka22b22kabab6k0，解得k.所以存在实数k使得kab与a2b垂直19(本小题满分16分)以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，若B90，求点B和的坐标解：设B(x，y)，则|.B(x，y)，A(5,2)，|，即10x4y29.又，0，又(x，y)，(x5，y2)，x(x5)y(y2)0，即x25xy22y0.由组成方程组为解得或B点的坐标为或.或.20(本小题满分16分)如图所示，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值解：法一：，0，()()a2a2()a2a2a2cos.故当cos1即0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.法二：以A为坐标原点，两直角边AB、AC分别为x轴、y轴建立直角坐标系，如图设|c，|b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|2a，|a，设点P(x，y)，则Q(x，y)，(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxbya2cxby.cos，cxbya2cos，a2a2cos.故当cos1，即0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.
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