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第三节 平面向量与代数的综合应用 平面向量与代数的综合应用为每年高考必考内容，以选择题（填空题）形式出现，或作为题设条件与三角函数（解三角形）、数列、函数不等式形成综合解答题的形式出现，分值在412分左右；向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考中主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用，难度系数在0.40.8之间. 考试要求 理解平面向量的概念，理解两个向量相等及向量共线的含义；掌握向量的加法、减法及数乘运算；了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，理解用坐标表示向量的加法和减法运算及数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件；理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握数量积的坐标表达式并会进行数量积的运算，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系.题型一 平面向量的有关概念及应用例1定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，令，下面说法错误的是（ ）（A）若与共线，则 （B） （C）对任意的，有 （D）点拨：仿照平面向量的线性运算规则及数量积的性质进行“”运算.解：若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，选B.易错点：把定义的运算“”混同与“”，认同选项B正确.变式与引申1：已知两个非零向量，定义运算“#”：，其中为的夹角有两两不共线的三个向量，下列结论：若，则；若；则；其中正确的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个题型二 平面向量与三角函数的综合应用例2：已知向量， (1)当时，求的值；(2)求的最小正周期和单调递增区间点拨：(1)由向量平行列方程解出的值，所求式子转化成正切单角名称的三角代数式，代入可求解；(2)进行向量坐标形式的数量积运算得到的解析式，转化为函数结构.解：(1)由 得，即，所以.(2) 因为，；所以；所以最小正周期为;由得，故单调递增区间为().易错点：计算的值出错；转化为形式出错；下结论时遗漏.变式与引申2：已知向量，(1)若，求. (2)求的最大值题型三 平面向量与数列的综合应用解：(1)因为点都在斜率为6的同一条直线上，所以，即于是数列是等差数列，故；因为，；又因为共线，所以 即，当n2时，当n=1时，上式也成立, 所以.高(2), .易错点：错误理解点都在斜率为6的同一条直线上的含义,无法求得的通项公式；由与共线错列方程得到结果.变式与引申3：数列中，数列中，在直角坐标平面内，已知点列，则向量+的坐标为( ).A. B. C. D.题型四 平面向量与函数的综合应用解：（1）方法一：由题意知(,), ，又高故（）()0，整理得：，即 . 中学方法二：因为(，1)，(, ),所以2，1且，又故0.即，化简得, 所以.(2) 由(1)知：，求导，令0得11；令0得1或1. 故的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.易错点：字母运算出错不能正确得到的坐标形式；没能通过简单的心算判断出，使得的展开式中无法消去含有的项.变式与引申4：1.已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量(),且，试求实数 的取值范围；2.(2020山东德州模拟)已知两个向量， .（1）若且，求实数x的值； （2）对写出函数具备的性质.本节主要考查（1）知识点有平面向量的有关概念、加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量的基本定理、坐标表示、垂直关系、向量的数量积；（2）演绎推理能力、运算能力、创新意识；（3）函数与方程的思想、数形结合思想和待定系数法.点评（1）掌握平面向量的基础知识，正确地进行向量的各种运算来处理向量与代数的综合应用问题（如例1），要善于利用向量“数”与“形”两方面的特征；（2）向量共线的充要条件中应注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，向量共线的坐标表示不能与向量垂直的坐标表示相混淆；（3）理解向量的数量积的定义、运算律、性质并能灵活应用，向量的数量积的结果是实数而不是向量，注意数量积与实数乘法运算律的差异；（4）向量的坐标运算使得向量运算完全代数化，向量与函数、数列、解三角形、不等式等相结合形成了代数的综合问题（如例2、例3、例4），在知识的交汇点处命题来考查了向量的工具性及学生分析问题、解决问题的能力.习题231. （2020年湖南理数）在边长为1的正三角形中，设，则.2. 关于平面向量有下列四个命题：若，则； 已知若，则；非零向量和，满足，则与的夹角为；其中正确的命题为_（写出所有正确命题的序号）3.已知向量 (m是常数),(1)若是奇函数，求m的值; 中学(2)若向量的夹角为中的值，求实数的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数t满足()=0，求t的值.5.（2020郑州四中模拟）已知点集，其中，点列在中，为与轴的公共点，等差数列的公差为1；(1)求数列，的通项公式；(2)若，数列的前项和k*s*5*u满足对任意的都成立，试求的取值范围.【答案】变式与引申1：解： ；因为时，所以不一定有，知错；，知，故正确；非零向量，满足，则三向量、构成正三角形，由向量加法的平行四边形法则知，平分，与的夹角为30，错变式与引申2：解：(1)若，则，由此得，因为，所以=；(2)由，得；，当1时，取得最大值为1，此时.变式与引申3：解：选D. 依题意得成等差数列，由得；成等比数列，由；，因为，；故+=.变式与引申4：仿解法二知,而, 所以当时，取最大值1；当时，取最小值-.又0 故的取值范围为 .将例题中的略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力.解：由已知得, 或解得，或具备的性质： ()偶函数； ()当即时，取得最小值（写出值域为也可）； ()单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减 . 习题23中易知夹角，与的夹角为；中3.解： (1)由题知=,所以=，由题知对任意的不为零的实数, 都有,即=恒成立，所以.（2）由题知0,所以0,即,当时，；当时，；所以或；当时，所以.综上, 当时，实数的取值范围是；当时, 实数的取值范围是或；当时, 实数的取值范围是.4.解：（1）方法一：由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、。方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(2,1)，。由()=0，得：，从而所以.或者： ，.转化为不等式，欲使对任意的都成立，只须成立即可，当且仅当时等号成立，所以取值范围为.
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