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向量的运算【两年真题重温】【2020新课标全国理，10】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：； ：；：； ：其中的真命题是( ) A， B， C， D，【答案】A【解析】本题考查向量的基本运算和性质 ，展开易得【2020新课标全国文，2】a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于（A） （B） （C） （D）【答案】 C【解析】本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.因a(4,3)，b(x,y), 2ab(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12.cos=【命题意图猜想】1. 2020年新课标高考理对向量的考查体现在求向量的夹角和模的运算，难度中等，文科则表现在向量的垂直关系的应用，较为简单；2020年理科没有涉及向量问题，而文科考查以【最新考纲解读】【回归课本整合】1、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.平面向量数量积：.向量的模：.3、向量的运算律：（1）交换律：，；(2)结合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？4、向量平行(共线)的充要条件：0.如(13)设，则k_时，A,B,C共线.5、向量垂直的充要条件：.特别地.则有.方向上的单位向量，设则有AP平分,又共线，所以OA平分.同理可证BO平分,CO平分,从而O是内心.3. 向量平行和垂直的重要应用向量平行和垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直或平行；二是利用平行或垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.（1）向量平行(共线)的充要条件：0;（2）向量垂直的充要条件：. 例4 设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且CABDEF图1则与( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【解法一】利用三角形的加法法则：几何法.如图1，在在在A.4 B.5 C.6 D.8HNC(M)BAD解析一：（几何法）对于几何含义：如图所示，当和重合时，投影为正且最大.oMDN，则.解析二：（代数法）建立如图的坐标系，则取得最大值6.4.平面向量共线的坐标表示(1)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.ab的充要条件ab与x1y2x2y10在本质上是相同的，只是形式上有差异(2)要记准坐标公式特点，不要用错公式5.求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角6.如果高考单独考查向量运算，如代数或几何运算，一般试题难度较低，位置较为靠前，此时为得全分的题目；如果向量和其他知识相结合，考查最值问题，一般以后几道选择题出现，难度较大，此时应充分考虑向量的几何意义或坐标法进行解决.在利用坐标法解决问题时，可考虑一般问题特殊化，即恰当的建立坐标系，将问题转化代数运算.如果探求一些范围问题，适当的代值检验是一个良策.（A） （B） （C）（D）【答案】D 【解析】在中，有因E为DC的中点，故因点F为BC的一个三分点，故故选D.4.【唐山市2020学年度高三年级第一次模拟考试】 在中，则 (A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4答案B【答案】A【解析】 因=，其中，动点的轨迹所覆盖的区域以为邻边的平行四边形，则为内切圆的半径.由余弦定理可知又因为三角形的内心，故到三角形各边的距离均为此时三角形的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，即答案：D解析：由向量加法法则可知四边形ABCD是平行四边形，故选D9.【山东省枣庄市2020届高三上学期期末测试试题】若平面向量两两所成的角相等，则_.【答案】2或5【解析】三个向量a、b、c两两所成的角均相等且为120时，.三个向量a、b、c两两所成的角均相等且为0时，.10.【福州市2020届第一学期期末高三质检】已知，与的夹角为，则与的夹角为ABCD 【答案】B，因函数取得最大值故答案为C.A.1 B1 C. D2【答案】 B【解析】 |abc|，由于ab0，所以上式，又由于(ac)(bc)0，得(ab)cc21，所以|abc|1，故选B.16.【北京市东城区2020学年度高三数第一学期期末教学统一检测】若非零向量满足，则与的夹角为 【答案】【解析】如图与构成等边三角形，则与的夹角为17.【北京市石景山区2020学年高三第一学期期末考试】的最小值是_【答案】【解析】因为点是的重心，所以，因为，所以，所以，
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