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第五节 推理证明与算法初步推理证明与算法初步是我们高考关注的几个新课标中重点话题，主要涉及到合情推理和演绎推理，直接证明和间接证明，以及算法初步中的框图知识和算法案例等. 题型可能是选择题、填空题，主要考查类比或归纳推理、循环结构为主的框图等；也可能是解答题，结合多个知识点进行命题的综合试题.其中推理与证明部分常与数列、不等到式问题综合，难度一般在之间.考试要求 （1）合情推理与演绎推理 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用; 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理; 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;（2）直接证明与间接证明 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点; 了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）了解算法的含义；理解程序框图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解几种基本算法语句.题型一：合情推理例1（1）若ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则ABC的面积Sr (a+b+c) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积 （2）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形,则第个三角形数为( ). A. B. C. D.点拨：（1）类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征；（2）这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式.解：（1）比较两个对象，三边对四面，面积对体积，内切圆对内切球，三边长对四个面的面积，由Sr (a+b+c)等式两边的量，类比对应到体积、系数、半径R、面积S1S2S3S4.答：R(S1S2S3S4).（2）在给出的一三角形数中，其中第一个三角形数1，第二个三角形数3=1+2，第三个三角形数6=1+2=3,第四个三角形数10=1+2+3+4，第五个三角形数15=1+2+3+4+5，故推测出的一般结论是：第个三角形数为易错点：（1）类似特征不明确，类比结论错误；（2）不善于寻找数字间的DO图规律，导致结论错误.变式与引申1：（1） 在RtABC中，CACB，斜边AB上的高为h1，则；类比此性质，如图，在四面体PABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为 ； （2）(2020江西文数)观察下列各式：则，则的末两位数字为（ ）A.01 B.43 C.07 D.49题型二：演绎推理例2如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，.求证：（1）；（2）.点拨：数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，证明线面平行时一定要注意注明直线在平面内及直线在平面外这两个条件.解：证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，所以；（2）因为直三棱柱，所以，又，所以，又，所以.易错点：三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、结论三部分，在书写证明的过程中，很多学生会出现跳步现象，逻辑关系不清楚是常见的错误.变式与引申2：（1）已知正方形的对角相等；平行四边形的对角相等；正方形是平行四边形根据三段论推理得到一个结论，则这个结论的序号是 .ABCDEF图（2）如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，F为CD的中点. ()求证：AF平面BCE； ()求证：平面BCE平面CDE.题型三：直接证明例3 已知求证：点拨：综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁，但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来.证法1：（综合法） ，当且仅当时等号成立， 当且仅当时等号成立， 即 证法2：（分析法） 要证，只要证 即证 ，即证 即由 得，所以原不等式成立易错点： （1）用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.变式与引申3：设 (），比较、的大小，并证明你的结论.题型四：间接证明例4：已知函数y=ax+(a1).（1）证明：函数f(x)在（-1,+)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.点拨：用反证法证明把握三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；（2）必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，（3）导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的.证明 （1）任取x1,x2(-1,+), 不妨设x1x2,则x2-x10,由于a1,a1且a0, a-a=a (a-1)0. 又x1+10,x2+10,-=0,于是f(x2)-f(x1)=a-a+-0, 故函数f(x)在(-1,+）上为增函数.（2）方法一 假设存在x00 (x0-1)满足f(x0)=0, 则a=-. a1,0a1,0-1,得x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.方法二 假设存在x00 (x0-1)满足f(x0)=0, 若-1x00，则-2,a1,f(x0)-1,与f(x0)=0矛盾.若x0-1,则0,a0, f(x0)0,与f(x0)=0矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根.易错点：（1）不是把求证结论的反面作为条件证题（2）不写明与什么相矛盾.变式与引申4：证明：若函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多只有一个实数根题型五： 算法初步例5 若程序框图如图输出的 S 是 126，则应为（ ）An5?Bn6?Cn7?Dn8? 点拨 由知，在第次循环时，由题意只需找到满足方程的的值.再结合语句推出判断框.解析 因，则当 n7 时退出循环，所以 n6.故选 B.易错点 不能准确判断循环终止的条件变式与引申5. 下面是一个用基本语句编写的程序如图，阅读后解决所给出的问题：INPUT IF THENELSE END IFPRINT END（1）请说明该算法程序的功能，并写出程序中的函数表达式；（2）将该程序语句转化为相应的程序框图.本节主要考查：（1）知识点有：归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎推理；直接证明与间接证明；算法的含义、几种基本的算法语句、程序框图（2）推理渗透在每个高考试题中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中；（3）常见的论证方法有：综合法、分析法及反证法等点评：（1）归纳猜想是一种重要的思维方法，是对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，然后提出带有规律性的结论，是由部分到整理，由个别到一般的推理；结果的正确性还需进一步论证，一般地，考查的个体越多，归纳出的结论可靠性越大（2）类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题（3）综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程；分析法的特点是：从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程（4）一般来说：分析法有两种证明途径：由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去；由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去（5）反证法在高考中的要求不高，但这种“正难则反”的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性（6）算法是指解决某类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，且在有限步内完成算法过程要简练，每一步执行的操作必须为下一步做准备程序框图是由框图和流程线组成的，是算法的一种表现形式通常是先写出算法步骤，再转化为程序框图算法初步在高考中的要求不高，同学们在学习时要通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的基本思想. 习题8-51.（2020高考天津卷理）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A3 B4 C5D62将正奇数数列1，3，5，7，9，进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3，5；第三组含三个数7，9，11；第四组含四个数13，15，17，19；记第n组内各数之和为Sn，则Sn与n的关系为 ( )ASnn2BSnn3CSn2n1DSn3n13为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，例如原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列三个接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有误的是 （填序号）4. 已知函数.（）求函数的单调区间；（2）试证明：对任意，不等式恒成立图5.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.（1）求证：CC1MN；（2）在任意DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.6.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.【答案】变式与引申1【解析】（1）； （2）答案：B 解析： 变式与引申2 【解析】（1）演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、结论三部分这里可推出，其中是大前提，是小前题是结论； 答：；（2）19方法一：（1）证：取的中点，连.为的中点，且. 平面，平面， ，. 又，. 四边形为平行四边形，则. 平面，平面，平面. （2）证：为等边三角形，为的中点， 平面，平面，.又，故平面.，平面. 平面，平面平面. 方法二：设，建立如图所示的坐标系，则.为的中点，.（1）证：，平面，平面. （2）证：， ，. 平面，又平面，平面平面. 变式与引申3 【解析】 又 变式与引申4证明：假设方程在区间上至少有两个不同的实数根、,即.不妨设,由于函数f(x)在区间上是增函数,故,这与矛盾,所以方程在区间上至多只有一个实数根.5. 解：（1）由算法程序可知，该算法程序的功能是计算分段函数的函数值. （2）程序框图如图：习题8-51 . B；2 .B；3. 【解析】新背景下的信息转换问题，需要认真分析对应关系，在对应关系下求出原象，如对于第一个接受信息，依据对应关系可知，求得，同理求得，故（1）正确；对于（3），若原信息为011，则接收信应为10110答：（3）；4. 【解析】解：(1)令得显然是上方程的解令，则函数在上单调递增是方程的唯一解当时，当时函数在上单调递增，在上单调递减 (2)由（1）知当时，在上恒有，当且仅当时“”成立对任意的恒有即对，不等式恒成立5【解析】（1）PMBB1，PNBB1， BB1平面PMN.BB1MN.又CC1BB1，CC1MN.（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S2SScos.其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角. CC1平面PMN，上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中， PM2=PN2+MN22PNMNcosMNPPM2CC=PN2CC+MN2CC-2（PNCC1）（MNCC1）cosMNP， 由于S=PNCC1，S=MNCC1，S=PMBB1=PMCC1，S=S+S2SScos.上，所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.则kPMkPN =(定值).
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