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第三节 研究性问题的创新试题研究性学习作为一种适应新形势需要的学习方法，其核心是自主学习，有助于激发学创造动机，提高动手实践能力，树立科学思想，培养创新精神.因此，在近些高考命题中都有所体现.而要解决高考中的研究性学习问题，就要针对提出的数学问题，充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用解决问题和分析问题的数学能力，发现解题依据，从中寻求最佳解题方法.题型一 知识类比问题【例1】设等差数列的前项和为，则，成等差数列.类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列.点拨：根据类比猜想得出，成等比数列.本题考查由等差数列到等比数列的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习.解析： 对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，成等比数列.易错点：在等差数列到等比数列类比过程，同学们易把握不住类比的方向，如等差数列中的“差”类比成等比数列中的“商”.变式与引申1已知椭圆具有性质：若、是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.题型二 条件探索性问题例2 已知首项为的数列满足，其中为常数.()若对任意的，有对任意的都成立，求的值；()当时，若，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由；()当确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题（不必证明）.说明：对于第()小题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分.点拨：本题作为高考的压轴题，考察学生对数列中递推公式的理解和应用，因此可从递推公式入手，求出关于通项的方程，求出参数，第()小题可应用证明数列单调性的定义法，直接比较与的大小，第()小题属于开放探索型题型，要求学生写出使得结论成立的条件，此时关键在于求出与结论等价的充分必要条件.条件开放的数学问题，可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法，也可以从结论出发，利用给定的条件，逆向推理直到终结点便是所探索的条件 数列满足，若，则数列是有穷数列； 数列满足，若，则数列是有穷数列； 数列满足，则数列是有穷数列的充要条件是存在，使得； 数列满足，则数列是有穷数列且项数为的充要条件是，.易错点：在求解递推公式时，求解与之间的公式出错.判断并证明数列单调性中，没有利用一般的归纳法得到，给接下来的证明带来困难.变式与引申2给定集合，映射满足：当时，；任取若，则有.则称映射：是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射：是一个“优映射”. 表1 表212323112343已知表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）.题型三 结论探索型问题例3 如图931，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中()当A1CB1D1时，试确定底面四边形ABCD的形状；()如果底面ABCD是正方形，E是C1D1的中点，是否存在实数，当时，DECA1若存在，求出实数的范围；若不存在，说明理由点拨：()根据条件，可以考虑四边形的特殊性，采用逆推法；（2）在ABCD是正方形的情况下，可以建立空间直角坐标系，利用向量运算的确定性来转化开放运动的不定条件，方便问题的解决解析：()根据条件与结论分析，如果A1CB1D1，则BD一定垂直平面AA1C，只要满足条件ACBD，就能推出结论，因此对四边形ABCD的形状可以是正方形、菱形、筝形故由于，则因此，而，可得，故不存在实数使得DECA1易错点：应用三垂线定理中出错，未能将线斜垂直转化为线影垂直.变式与引申3如图932所示，已知：直线mn，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点（1）请写出图中面积相等的各对三角形；（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有_与ABC的面积相等理由是：_.题型四 综合探究能力问题例4对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数 .（）当，时，求函数的不动点；（）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（）在（）的条件下，若图像上，两点的横坐标是函数的不动点，且，两点关于直线对称，求的最小值.点拨：理解不动点的概念，求出不动点的充要条件.本题以高等数学中不动点的概念为背景，考察学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法.对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析、探索、创造性的解决问题的能力.因为，当且仅当即时，有最小值.易错点：学生未能理解不动点的概念，仅仅简单地从字面上理解，未能转化为数学语言，这也要求我们在训练学生思维能力方面重要的把握对概念的理解.变式与引申4.设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间（I）证明：对任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；（II）对给定的（），证明：存在，满足，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）本节主要考查：高考数学命题中的研究性创新问题主要有学习能力型、结论探索型、解题策略研究型、综合探究能力型等几种类型. 研究性创新问题因其思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，这类创新题在高考中频频亮相.点评：所谓创新意识就是能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题. 创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.高考中的研究性学习问题，就要针对提出的数学问题，充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用数学综合能力，发现解题依据，从中寻求最佳解题方法. 如类比是将解题方法、式子结构、运算法则、问题结论等或引申、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知探索新知；善于从若干特殊现象中总结出一般规律.高考中对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，往往注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也会有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.这种试题往往以压轴题的形式出现.习题931已知的两个焦点，P是椭圆上一点，且，请将题目中所空缺的一个可能条件填入_处.2对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间.（）若与在给定区间上都有意义，求的取值范围;()讨论与在给定区间上是否是接近的.3如图933所示，五边形 ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图934所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（934中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积） （1）写出设计方案并画出相应的图形； （2）说明方案设计理由4过椭圆上的动点P引圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴、y轴分别交于M、N.（1）问代数式的值是否与P点的运动相关？并证明你的结论；（2）是否存在点P使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】变式与引申1解：类似的性质为：若、是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点的位置无关的定值.证明：设点、的坐标为（）、（），则（）. 因为点（）在已知双曲线上，所以，同理.则（定值）.2.解： 或 3.解：（l）ABC和ABP，AOC和 BOP、CPA和CPB（2）ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有ABP与ABC同底等高，因此，它们的面积总相等4. 解：（I）证明：设为的峰点,则由单峰函数定义可知在上单调递增,在上单调递减当时,假设,则从而这与矛盾,所以,即是含峰区间当时,假设,则,从而这与矛盾,所以,即是含峰区间（II）证明：由（I）的结论可知：当时,含峰区间的长度为当时,含峰区间的长度为对于上述两种情况,由题意得由得,即又因为,所以将代入得由和解得所以这时含峰区间的长度,即存在使得所确定的含峰区间的长度不大于习题9-31提示：此题所空缺条件一般是应满足什么条件.首先确定焦点所在的坐标轴.假设焦点在轴上,由题意有则从而与题设矛盾,知椭圆的焦点在轴上. 于是有,亦即 综上应有.故当时，与在上是接近的，图931当时，与在区间上是非接近的.3（1）画法如图931所示.连接EC，过点D作DFEC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置（2）设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知：SECF=SECD，SHCF=SEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN4解析：（）设椭圆上的动点，则切点弦AB所在的直线方程为： 令；令 因此与点P的运动无关. ()假设存在点使得，即，又因为 且，所以四边形OAPB是正方形， 得到. 当时，即时，不存在这样的点P满足条件； 当时，即，存在这样两点； 当时，即，存在这样的四点.
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