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第二节 统计、统计案例 统计与统计案例是高中数学的重要学习内容，它是一种处理问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，统计的基础知识成为每个公民的必备常识 由于中学数学中所学习统计与统计案例内容是基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法该部分在高考试卷中，一般是23个小题或一个解答题，难度值在0.50.8.考试要求：统计：（1）随机抽样： 理解随机抽样的必要性和重要性. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）：用样本估计总体 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释. 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性： 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.统计案例：了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.（1）独立性检验了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及其简单应用.（2）回归分析：了解回归的基本思想、方法及其简单应用.题型一 抽样方法 例1（1）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 （2）利用简单随机抽样的方法，从n个个体（n13）中抽取13个个体，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每个个体被抽取的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率为 点拨: （1）在分层抽样中应注意总体中各个层次人数的比例，在样本中应保持比例不变（2）简单随机抽样过程中，每一次的抽取，剩下的个体被抽到的概率都是一样的，所以应先求n解：（1）总体甲:乙:丙:丁=3:3:8:6，所以样本中丙专业抽取的学生人数= (1) 由题意得：解得， 在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率为 易错点:（1） 把样本中的各层次的比例算错.（2）误认为在简单随机抽样的每一次抽取中个体被抽到的概率不同导致错误 变式与引申1:某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 _， _， _辆变式与引申2：经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人题型二 统计图表问题 例2 从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n件，测得其产品尺寸后，画得其频率直方图如下.尺寸在15,45)内的频数为46.(1)求n的值； (2)求尺寸在20,25)内产品的个数. 点拨:用样本频率分布去估计总体分布 解：(1)由题意得，尺寸在10,15)内的 概率是50.016=0.08.所以尺寸在15,45)内的概率为10.08=0.92.由=0.92,n=50. (2)尺寸在20,25)内的概率是0.045=0.2.故在该区间内产品的个数是500.2=10(个) 易错点:在直方图中频率每一个长方形的面积，而不是其高度 变式与引申3: 有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：12.5，15.5，6；15.5，18.5，16；18.5，21.5，18；21.5，24.5，22；24.5，27.5），20；27.5，30.5），10；30.5，33.5），8.列出样本的频率分布表；画出频率分布直方图；估计数据小于30.5的概率 题型三 平均数、标准差（方差）的计算问题 例3一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9. 9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ）A9.4，0.484B9.4，0.016 C9.5，0.04D9.5，0.016 点拨:本题考查平均数与方差的计算公式； 解：， 答案：D 易错点:没理解记忆,公式记错. 变式与引申4: 是的平均数，是的平均数，是的平均数，则，之间的关系为 变式与引申5：某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为、10、11、9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）A1B2C3D4题型四 线性回归分析例4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据: 34562.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前吨甲产品能耗为吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？点拨：本题中散点图好作，本题的关键是求关于的线性回归方程，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决解：（1）散点图如图；（2）方法一：设线性回归方程为，则时， 取得最小值，,即，时,取得最小值所以线性回归方程为方法二：由系数公式可知，所以线性回归方程为（3）时，所以预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低吨标准煤易错点:本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了变式与引申6: 为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前次考试的数学成绩、物理成绩进行分析下面是该生次考试的成绩数学8888831117992110811001112物理9949911108996110411011106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议 本节主要考查：（1）三种抽样方法；总体分布的估计；线性回归等（2）解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化思想的运用点评：（1）简单随机抽样方法应注意抽样的公平性，分层抽样应注意每个层次个体的比值；（2）用样本频率分布去估计总体分布；用样本的某种数学特征去估计总体相应数学特征解题途径：应用所掌握的基础知识进行计算.（3）进行总体平均数的估计与总体方差的估计. 解题途径：利用样本的平均数与方差分别作为总体的期望值和方差的估计.（4）线性回归分析解题途径：先作出散点图，再根据公式确定回归方程中的参数，并可以根据求出的方程做预测或给出建议习题4-21. 某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）A分层抽样法，系统抽样法B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D简单随机抽样法，分层抽样法2.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则= . 3. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图4-2-3是根据抽样检测后96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 图 4-2-3 的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98），98，100),100，102)，102，104),104，106,已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 . 4.（2020年高考北京卷。文）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差其中为的平均数） 5. 假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：234562.23.85.56.57.0若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？【答案】变式与引申1：解：三种型号的汽车数量比为3:15:5，所以样本中三种汽车数量为 6,30,10变式与引申2：解：“喜欢”：“一般”：“不喜欢”=5:3:1， 令全班总人数为，则，解得 “喜欢”的人数=人，比27多 3人 答案：3变式与引申3：解：样本的频率分布表如下：分 组频 数频 率12.515.560.0615.518.5160.1618.521.5180.1821.524.5220.2224.527.5200.2027.530.5100.1030.533.580.08合 计1001.00频率分布直方图如图. 数据小于30.5的概率约为0.92.变式与引申4：；变式与引申5：解：由题意得：, , 选D变式与引申6：分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决解：（1）； ； ， 从而，所以物理成绩更稳定 （2）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到， 线性回归方程为当时，建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步 提高习题4-21.B 冲根据抽样的特点进行选择不同的抽样方法2.解：3. 90解：产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,则,所以,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是1200.75=90.4.解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为5. 解: （1）依题列表如下：12345234562.23.85.56.57.04.411.422.032.542.04分
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