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第二节 点、直线、平面之间的位置关系立体几何中点.直线.平面之间的位置关系是高考命题的重点和热点，其中线面垂直的判定和性质几乎年年出现，面面垂直的性质和判定定理也是高考的一个热点，同时各平行的判定和性质也仍会被关注，考题以选择.填空.解答题的形式出现，属中档或中高档题，难度一般控制在0.500.75之间.考试要求 （1）理解空间点.直线.平面位置关系的定义；（2）理解线线平行，线面平行，面面平行的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题；（3）理解线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.题型一 线面关系判断例1 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： 其中正确命题的序号是.点拨：考虑全面,准确地将题中符号.文字.图形三种语言进行转化和变换，借助模型.根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断解析：正确命题的序号是.因为对于，由于两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此正确；对于，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但不能确定它们平行，因此是错误的；对于，因为直线n可能位于平面内，因此是错误的；对于，因为两条平行线中一条垂直一个平面,则另一条也垂直于跟它平行的平面,是正确的.易错点：对于考虑不全面：认为两直线平行，其中一条直线平行一 个平面，那么另一条直线也平行这个平面，因此是正确的.变式与引申 1.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是A若，则 B若则ABCDMNP图1图5-2-1C若，则 D若则题型二 空间的平行关系 例2 已知：如图5-2-1，正四棱锥中，分别为上的点，且有.求证：直线/平面点拨：证明线面平行的一般思路和方法是使用判定定理，在平面内“找”一条与已知直线平行的直线， 为了作平行直线，还需要转化为先作平面，即过所证直线作一平面，使这一平面与所证平面相交，并且交线与所证直线平行.可采用构造三角形，利用三角形中位线定理及其推广作平行线,也中通过构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行来作平行线，ABDMNP图5-2-2Q还可以使用面面平行的性质定理来证.证明:方法1连并延长交于.连接,如图5-2-2,由正四棱锥的性质，有/.C由此可证明.则.由已知：.又平面平面，ABCDMNP图5-2-3FE平面.方法2作交于，作交于，连，如图5-2-3 由已知可得再由可得.由正四棱锥的性质，有.所以，.由，.则四边形为平行四边形，所以又平面平面.所以平面.图5-2-5易错点：利用已知条件出错，不能准确得出所需结论.变式与引申 2.如图图5-2-5：在四棱锥中，底面是菱形，平面ABCD，点分别为的中点，且.(1) 证明：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)在线段PD上是否存在一点E，使得平面；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.题型三 空间的垂直关系 例3 如图5-2-6，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离. 点拨 设法证明平面即可（1）证明 ： 点E为的中点，且为直径 ，且FCAC=C BE平面FBD FD平面FBD EBFD （2）解：，且 又，图5-2-7则点B到平面FED的距离 易错点 利用等体积法求距离时，容易出错. 变式与引申3.如图5-2-7，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABC90，2ABBCBB1a，且A1CAC1D，BC1B1CE，截面ABC1与截面A1B1C交于DE， (1)求证：A1B1平面BB1C1C(2)求证：A1CBC1(3)求证：DE平面BB1C1C 题型四 综合运用 例4如图5-2-8是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的左视图.俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.(1)求出该几何体的体积.(2)若N是BC的中点，求证：平面；(3)求证：平面平面. 点拨(1)先对应求出各边，(2)找线线平行，(3)找线面垂直 解：(1)由题意可知：四棱锥中，平面平面，所以，平面，又，则四棱锥的体积为：(2)连接，则 又，所以四边形为平行四边形，平面,平面,所以，平面；(3) ,是的中点,，又平面平面平面由(2)知：平面又平面所以，平面平面. 易错点 容易求错相应边的值，很难找出线面垂直. 变式与引申4 .一个多面体的直观图和三视图如图5-2-9所示，其中M.N分别是AB.AC的中点，G是DF上的一动点.（1）求证：（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC,并给出证明. 本节主要考查 （1）线线，线面，面面平行的判定与性质定理；线线，线面，面面垂直的判定与性质定理以及这些知识的综合应用（2）技能技巧；（3）数形结合，转化化归的应用以及观察能力，归纳能力，空间想象能力，运算求解能力等基本数学能力.点 评 （1）平行关系是立体几何中的重点，也是高考中常考热点，在解决线面，面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意转化的方向总是受题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.（2）证明线面平行可以使用线面平行的判定定理，也可以使用面面平行的性质定理.在证明过程中，画辅助线构造几何图形往往是必不可少的步骤，构造时应紧密结合已知条件和平面几何的有关知识，主要是两条直线平行的判定定理，可以从以下两种情况进行考虑.用线面平行的判定定理来证：构造一个三角形.或一个平行四边形，使其一边在所证的平面内，利用相关的定理.性质证明两直线平行.用面面平行的性质定理来证：构造一个平面图形，往往是三角形，使三角形的一边为所证的直线，证明这个三角形另两边与所证的平面平行.（3）垂直关系是立体几何中的必考点，无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件下手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所以证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.（4）解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：线线平行（垂直） 线面平行（垂直）面面平行（垂直）（5）对于平行与垂直关系，应根据本节的各种概念，定理多的特点进行复习，重在理清各种定理的特征和关系，总结规律，重视通性通法，培养计算能力和应用能力.习题521 设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）2（2020年高考江苏卷）如图5-2-10，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E.F分别是AP.AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD3如图5-2-11，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(1)证明：EF平面PAD；(2)求三棱锥EABC的体积V. 4如图5-2-12，已知直三棱柱ABCA1B1C1，.E.F分别是棱CC1.AB中点. （1）求证：； （2）求四棱锥AECBB1的体积； （3）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，并加以证明.5如图5-2-13已知直角梯形中, ,过作,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.（1）求证：；（2）求证：；（3）在线段上找一点,使得面面,并说明理由. 【答案】变式与引申1. C提示：对于，结合则可推得答案C2. (1) 证明：如图5-2-1，因为ABCD为菱形，所以AB=BC ，又，所以AB=BC=AC，又M为BC中点，所以 而平面ABCD，平面ABCD,所以 又，所以平面 （2）解：因为 又底面 所以 所以，三棱锥的体积 (3) 解：存在，取PD中点E，连结NE，EC,AE,因为N，E分别为PA，PD中点，所以 又在菱形ABCD中， 所以，即MCEN是平行四边形 所以， ，又平面，平面 所以平面， 即在PD上存在一点E，使得平面，此时. 3. 证明：(1)三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，侧面与底面垂直，即平面A1B1C1平面BB1C1C，又ABBC，A1B1B1C1，从而A1B1平面BB1C1C.(2)由题设可知四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C，又由(1)可知A1B1平面BB1C1C，而BC1平面BB1C1C，A1B1BC1，又A1B1B1CB1，且A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，BC1平面A1B1C，而A1C平面A1B1C，BC1A1C.(3)直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，D为A1C的中点，E为B1C的中点，DEA1B1，而由(1)知，A1B1平面BB1C1C.DE平面BB1C1C.4 .证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF,DF=AD=DC (1)连接DB，可知B、N、D共线，且ACDN 又FDAD FDCD，FD面ABCD FDAC AC面FDN GNAC （2）点P在A点处下证：取DC中点S，连接AS、GS、GA G是DF的中点，GS/FC,AS/CM 面GSA/面FMC GA/面FMC 即GP/面FMC习题5-2 . （1）（2） 提示：（3）条件不充分，推导不出结论（4）少了两“相交”二字2证明：（1）在PAD中，因为E.F分别为AP，AD的中点，所以EF/PD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF/平面PCD.（2）连结DB，因为AB=AD，BAD=60，所以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.解：(1)如图5-2-2，在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC. 图5-2-2又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.(2)连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=. .证明：（1）如图5-2-3,三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，平面ABC， 图5-2-3又平面ABC， （2）解：三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，平面ABC，又平面ABC平面ECBB1 是棱CC1的中点， （3）解：CF/平面AEB1，证明如下：取AB1的中点G，联结EG，FG分别是棱AB、AB1中点又四边形FGEC是平行四边形 又平面AEB，平面AEB1，平面AEB1.解：如图5-2-4（1）证明：由已知得：, ABCDEGF图5-2-4 , ,（2）证明：取中点，连接, ， , ， , （3）分析可知，点满足时， 证明：取中点，连结、 容易计算, 在中,可知, 在中, , 又在中,
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