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第三节 不等式选讲 不等式选讲是一个选考内容,纵观近年关于课程标准的高考试题,含绝对值不等式的试题常以选做题的形式出现,属于中档偏易题.最值与恒成立问题是高考的常考点,不等式的证明常与数列相结合,考查数学归纳法、放缩法等技能方法,属于中高档题,甚至是压轴题,难度一般控制在之间. 考试要求：理解绝对值及其几何意义. 绝对值不等式的变式：. 利用绝对值的几何意义求解几类不等式：；.了解不等式证明的方法：如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.题型一 含绝对值不等式例（2020全国课标卷理科第24题）设函数,其中.（）当时，求不等式的解集（）若不等式的解集为 ，求a的值。点拨：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号. 可考虑采用零点分段法.解：（）当时，可化为,由此可得 或,故不等式的解集为或.() 由的 此不等式化为不等式组或即 或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故.易错点：含绝对值的不等式的转化易出错；不会运用分类讨论的数学思想,去掉绝对值符号. 变式与引申：若，求证： .题型二 不等式的性质例.设,则的最小值是( ). A. B. C. D.设且,求的最大值.点拨：观察分母能发现其和为,则添加可配凑成,再利用基本不等式求解；观察已知条件,可将所求式子转化为,再利用基本不等式求解.(1)【答案】D 解：,当且仅当,时等号成立.如取,满足条件.选D.（2）,.又,即易错点：忽视基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”条件.变式与引申2：已知,且,求证:.题型三 不等式的证明例3 已知,且,求证：.点拨：由,得,.可使问题得证. 解： ,. 易错点：易出现的错误；忽视基本不等式中等号成立的条件.变式与引申3： 是和的等比中项，则的最大值为( ). A. B. C. D. 题型四 不等式与函数的综合应用例4已知函数.当时.求证：.点拨：本题中所给条件并不足以确定参数,的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以用 、来表示,因为由已知条件有,可使问题获证. 证明：由，从而有,.易错点：不会用、来表示、及其它们的和差关系式,从而解题思路受阻；不能灵活运用绝对值,对问题进行转化.变式与引申4：设二次函数，函数的两个零点为. （1）若求不等式的解集；（2）若且，比较与的大小本节主要考查：不等式的性质(基本不等式与柯西不等式)应用；含绝对值不等式的解法； 逆求参数取值范围；函数方程思想、分类讨论思想、转化化归思想以及比较法、分析法、综合法等数学思想方法. 点评：运用不等式性质解有关问题时,要随时对性质成立的条件保持高度警惕,避免错误发生； 应用绝对值不等式解题时,要注意绝对值不等式中等号成立的条件；解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,主要思路有：利用绝对值的几何意义；零点分段讨论；平方转化；借助图象直观获解. 利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式选讲的重点考查内容之一,解题中常用技巧是注意创设应用基本不等式的条件,合理地拆分项或配凑因式,即把已知式子转化成基本不等式和柯西不等式的模型.在应用求最值时,“一正、二定、三相等”三个条件不可缺一. 证明不等式的常用方法： 比较法,即作差比较法与作商比较法；综合法-由因导果；分析法-执果索因；放缩法,常出现在与数列和式有关的不等式证明中,运用时应注意观察“放与缩”的方向和“放与缩”的量的大小,把握好放缩的“度”,熟记一些常用放缩技巧和放缩的结构形式. 不等式作为工具,常与函数、导数、数列、解析几何结合在一起,有着广泛的应用,应给予关注.习题3-31.(2020陕西文科第3题)设，则下列不等式中正确的是 （ ） （A） （B）（c） (D) 2不等式的解集是( ). A. B. C. D.3不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( ).A. B. C. D.4.(2020年山东卷文科第16题）.已知当2a3b4时，函数的零点 .5.设,是大于的常数,若的最小值是,则的值等于_.【答案】当且仅当时,等号成立.变式与引申3：选B 解：由条件可知,用三角代换设,则选B.变式与引申4：（1）由题意知，当时，不等式 即为.当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为.（2）且， 即 习题3-3对任意实数恒成立,则,解得或.故.4.【答案】2【解析】因为函数在（0，上是增函数，即.5.【答案】 解：.
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