选修4-2矩阵与变换第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量

1矩阵的逆矩阵(1)一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得I，则称变换可逆，并且称是的逆变换(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BAABE，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A1.(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)1B1A1.(5)二阶矩阵A可逆，当且仅当det Aadbc0时，A1.2二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det Aadbc.若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D0时，方程组的解为3矩阵特征值、特征向量的相关概念(1)定义：设矩阵A，如果存在实数以及非零向量，使得A，则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量(2)一般地，设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线(4)设矩阵A，称f()为矩阵A的特征多项式，方程0为矩阵A的特征方程4特征向量的应用(1)设A是一个二阶矩阵，是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向量，则Ann(nN*)(2)性质1设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值，1，2是矩阵A的分别属于特征值1，2的特征向量，对于任意的非零平面向量，设t11t22(其中t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Ant11t22.1矩阵的逆矩阵是_答案：2若矩阵可逆，则k的值不可能是_答案：3若矩阵A不可逆，则实数a的值为_解析：由题意|A|2(a1)1(1a2)a22a10，a1.答案：14对任意实数x，矩阵总存在特征向量，则m的取值范围是_解析：由条件得f()(x)(2)(m2)(3m)2(x2)2x(m3)(m2)0有实数根，所有1(x2)24(2xm2m6)0对任意实数x恒成立，所以2164(4m24m28)0，解得m的取值范围是3m2.答案：3m2.5已知矩阵M的特征值18及对应的一个特征向量e1，并有特征值22及对应的一个特征向量e2.则矩阵M_.解析：设M，则8，故2，故联立以上两个方程组解得a6，b2，c4，d4，故M.答案：热点考向一求逆矩阵求矩阵A的逆矩阵【解析】法一：设矩阵A的逆矩阵为，则 ，即，故且解得x1，z2，y2，w3，从而矩阵A的逆矩阵A1.法二：A，detA1.A1.【点评】方法一是待定系数法；方法二是公式法1已知变换矩阵A把平面上的点P(2，1)、Q(1,2)分别变换成点P1(3，4)、Q1(0,5)(1)求变换矩阵A；(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A1：如不可逆，请说明理由【解析】(1)假设所求的变换矩阵A，依题意，可得 及 ，即解得：所以所求的变换矩阵A(2)detA22(1)15，A可逆A1.热点考向二利用矩阵解二元一次方程组-(1)求矩阵A的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识，解方程组【解析】(1)法一：设矩阵A的逆矩阵为A1，则由 ，知解之得A1.法二：A，|A|431，A1.(2)二元一次方程组的系数矩阵为A，由(1)知A1.因此方程有唯一解A1. .即【点评】二元一次方程组(a1，b1不同时为零，a2，b2不同时为零)的系数矩阵为A，只有当|A|0时，方程组有唯一解A1，若|A|0，则方程组有无数解或无解2用矩阵方法求解二元一次方程组解析：原方程组可以写成，记M，其行列式2(5)14140，M1.M1，即方程组的解为热点考向三矩阵的特征值与特征向量给定矩阵A，B.(1)求A的特征值1，2及对应特征向量1，2；(2)求A4B.【解析】(1)设A的一个特征值为，由题意知：0，即(2)(3)0，解得12，23，当12时，由2，得A属于特征值2的特征向量1；当23时，由3，得A属于特征值3的特征向量2(2)由于B12.故A4BA4(12)(241)(342)161812.【点评】求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点，解决此类问题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相应的特征向量请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算简单、方便3已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量2，求矩阵A，并写出A的逆矩阵解析：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1可得，6，即cd6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量2，可得，即3c2d2，解得，即A.A的逆矩阵是.一、填空题1已知A可逆，则实数a的取值范围是_解析：矩阵A可逆当且仅当det(A)0，即63a0，a2，a的取值范围为(，2)(2，)答案：(，2)(2，)2设矩阵M，则矩阵M的特征向量可以是_解析：矩阵M的特征多项式f()21.由于f()0得矩阵M的特征值为11，21.经计算可得，矩阵M属于特征值1的一个特征向量为，而属于特征值1的一个特征向量为.答案：3设可逆矩阵A的逆矩阵A1，则a_，b_，c_.解析：由AA1E得，即解方程组得a2，b，c.答案：24已知二元一次方程组从线性变换的角度求解时应把向量绕原点作顺时针旋转_的旋转变换解析：因为方程组的矩阵形式是，它是把向量绕原点作逆时针旋转变换得到，所以解方程组就是把向量绕原点作顺时针旋转的旋转变换答案：5A ，则A1_.解析：A ，|A|10.A1.答案：6现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a1，b2，z26，双方约定的矩阵为，发送方传递的密码为67,30,31,8，此组密码所发信息为_解析：因为A，所以det A20，所以A1，而密码矩阵为B，故明码矩阵XA1B ，对应信息为“good”答案：good7矩阵M的特征值与特征向量分别为_解析：由(1)(3)(2)()2280，得矩阵M的特征值为14，22.设属于特征值14的特征向量为，则它满足方程(11)x(2)y0，即5x2y0.故可取为属于特征值14的一个特征向量设属于特征值22的特征向量为，同理可得x2y0.故可取为属于特征值22的一个特征向量综上所述，矩阵M有两个特征值14，22，属于14的一个特征向量为1；属于22的一个特征向量为2.答案：14，1和22，28已知矩阵A，B，则满足方程AXB的二阶矩阵X_.解析：A，|A|23(1)(4)20.A1.AXB，XA1B，X.答案：二、解答题9已知矩阵A，B，C，求满足AXBC的矩阵X.解析：AXBC，所以(A1A)XBB1A1CB1而A1AXBB1EXBB1X(BB1)X，所以XA1CB1因为A1，B1，所以XA1CB1.10已知矩阵A.(1)求矩阵A的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵An.解析：(1)矩阵A的特征方程为(6)(4)8210160.得矩阵A的特征值为18，22.当18时，A属于1的特征向量为1；当22时，A属于2的特征向量为2.(2)设AnAn18n1，An22n2，即，即解得a，b，c，d.故An.11给定矩阵M，N，向量.(1)求证：M和N互为逆矩阵；(2)求证：向量同时是M和N的特征向量；(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值解析：(1)证明：因MN，且NM，所以M和N互为逆矩阵(2)证明：因为M，所以是N的特征向量因为N，所以是N的特征向量(3)由(2)知，M对应于特征向量的特征值为1，N对应于特征向量的特征值也为1，故1是矩阵M和N的一个公共特征值12(2011年福建)设矩阵M(其中a0，b0)若a2，b3，求M的逆矩阵M1；若曲线C：x2y21，在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a，b的值解析：设M1，则MM1又M，.2x11,2y10,3x20,3y21.即x，y10，x20，y2.M1.设C上任一点P(x，y)，在M作用下得点P(x，y)则，又点P(x，y)在C上，所以y21.即b2y21为曲线C的方程又C的方程为x2y21，又a0，b0，所以