2020高三数学二轮复习 一题多解专题四 利用正（余）弦定理判断三角形形状

一题多解专题四：利用正（余）弦定理判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：，等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如：sin Asin BAB；sin(AB)0AB；sin 2Asin 2BAB或A+B等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.例：在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a,b,c，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，试判断ABC的形状.思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和 边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系.方法一：由正弦定理得，2cos Asin B=sin C， ，由余弦定理的推论得 ， 化简得，a=b； 又(a+b+c)(a+b-c)=3ab， 化简得，b=c，a=b=c，即ABC是等边三角形. 方法二：A+B+C=，sin C=sin(A+B)，又2cos Asin B=sin C， 2cos Asin B=sin(A+B)， 2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B， sin Acos B-cos Asin B=0，sin(A-B)=0， A,B(0,)，A-B(-,)， A=B， 又(a+b+c)(a+b-c)=3ab， ，即， 由余弦定理的推论得 又C(0,)，又A=B，ABC是等边三角形.规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法： 判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系； 利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的 关系； 判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三 角形.针对性练习：1.在ABC中，若a2tan B=b2tan A，试判断ABC的形状.【解析】法一：由正弦定理及已知，得sin2A=sin2B， 即sin Acos A=sin Bcos B，sin 2A=sin 2B. 02A,2B2，2A+2B2；2A=2B或2A=-2B.即A=B或A+B=. 所以，三角形ABC是等腰三角形或直角三角形. 法二：在得到sin 2A=sin 2B后，也可以化为sin 2A-sin 2B=0， 2cos(A+B)sin(A-B)=0，cos(A+B)=0或sin(A-B)=0. 0A+B，且-A-B，A+B=或A-B=0， 即A+B=或A=B.ABC是等腰三角形或直角三角形.2.在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状.【解析】方法一：由正弦定理，得2sin B=sin A+sin C. B60，A+C120,即A120C， 代入上式，得2sin 60=sin(120-C)+sin C展开，整理得： sin(C+30)=1,C+30=90， C60，故A60，ABC为正三角形. 方法二：由余弦定理，得， B=60, ， 整理，得，a=c. 从而abc，ABC为正三角形.