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专题阶段评估(四)(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下面有关棱锥的叙述错误的是()A底面是多边形，侧面都是三角形的几何体是棱锥B棱锥的侧面都是三角形C底面是五边形的棱锥是五棱锥D用平行于底面的平面截棱锥，截去一个小棱锥后剩下的部分是棱台答案：A2一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为A.B.C. D8解析：由题意，球的半径为R，故其体积V()3，选A.答案：A3.(2020辽宁卷)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A4 B2C2 D.解析：设底面边长为x，则Vx32，x2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为的矩形，其面积为2.答案：B4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线ON，AM的位置关系是()A平行 B相交C异面垂直 D异面不垂直解析：取AD的中点E，分别连接EO，A1E，显然AM和EO，A1E都垂直，所以AM平面A1EON，从而直线NO与AM异面垂直，故选C.答案：C5已知直线m、l和平面、，则的充分条件是()Aml，m，l Bml，m，lCml，m，l Dml，l，m解析：由/，如图.由/，如图.由/，如图.所以选项A，B，C都不对又选项D能推出，所以D正确故选D.答案：D6下列说法中正确的是()角的水平放置的直观图一定是角相等的角在直观图中仍然相等相等的线段在直观图中仍然相等若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行A BC D解析：取任意角都可得到角的直观图，故对，画出等边三角形的直观图可知相等的角在直观图中不一定相等，相等的线段在直观图中也不一定相等，故错，取任意多边形，画出直观图，原图形中的平行直线在直观图中仍平行，故对，故选C.答案：C7体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A54 B54C58 D58解析：设圆台的上、下底面半径分别为r，R，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h，H，则，又R29r2，R3r，H3h.R2Hr2h52.即R2HR2H52，R2H54.答案：A8已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则CD()A2 B.C. D1解析：如图，连接BC，在直二面角l中，ACl，AC，ACBC.ABC为直角三角形，BC.在RtBCD中，BC，BD1，CD.答案：C9.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A22 B12C424 D432解析：由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S41222283432.故选D.答案：D10.如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是()A有10个顶点B体对角线AC1垂直于截面C截面平行于平面CB1D1D此多面体的表面积为a2解析：此多面体的表面积S6a23aaaaa2a2a2.故选D.答案：D11下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析：两个平面，垂直时，设交线为l，则在平面内与l平行的直线都平行于平面，故A正确；如果平面内存在直线垂直于平面，那么由面面垂直的判定定理知，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面，垂直时，平面内与交线平行的直线与平行，故D错误答案：D12正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DO，D1O，cosDD1O.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13(2020上海卷)若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_解析：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则h，圆锥的体积V12.答案：14如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_解析：由三视图知该几何体如图所示，ABCD为正方形，边长为2，PC面ABCD，PC2，最长的棱长为PA，PA2.答案：215在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；若平面平面，则平面内任意一条直线m平面；若平面与平面的交线为m，平面内的直线n直线m，则直线n平面；若平面内的三点A，B，C到平面的距离相等，则.其中正确命题的个数为_解析：中，互相平行的两条直线的射影可能重合；正确；中，平面与平面不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面；中，若平面内的三点A，B，C在一条直线上，则平面与平面可以相交，所以错误综上，只有命题正确答案：116已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则棱AB与PD所在直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于PAB的面积；直线AE与直线BF是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的编号)解析：由条件可得AB平面PAD，ABPD，故正确；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，从而PAPB，这是不可能的，故错；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PDPA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，错故填.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明：(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.18.(本小题满分12分)如图，已知点H在正方体ABCDABCD的对角线BD上，HDA60.(1)求DH与CC所成角的大小；(2)求DH与平面AADD所成角的大小解析：以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz(图略)设H(m，m,1)(m0)，则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD.(m，m,1)(m0)，由已知，60，|cos，可得2m，解得m，所以.(1)因为cos，所以45，即DH与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60，可得DH与平面AADD所成的角为30.19(本小题满分12分)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥EABC组合而成的，点A、B、C在圆O的圆周上，其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA平面ABC，ABAC，ABAC，AE2.(1)求证：ACBD；(2)求三棱锥EBCD的体积解析：(1)证明：因为EA平面ABC，AC平面ABC，所以EAAC，即EDAC.又因为ACAB，ABEDA，所以AC平面EBD.因为BD平面EBD，所以ACBD.(2)因为点A、B、C在圆O的圆周上，且ABAC，所以BC为圆O的直径设圆O的半径为r，圆柱的高为h，根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得，解得所以BC4，ABAC2.因为EA平面ABC，所以VEBCDVEABCVDABCSABCEASABCDASABCED.易知EDEADA224.又因为ABAC，ABAC2，所以SABCACAB224.所以VEBCD44.20(本小题满分12分)(2020北京卷)如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点(1)求证：DE平面BCP.(2)求证：四边形DEFG为矩形(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由解析：(1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DEPC.又因为DE平面BCP，所以DE平面BCP.(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG，所以Q为满足条件的点21(本小题满分12分)(2020江苏卷)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，点N是BC的中点，点M在CC1上设二面角A1DNM的大小为.(1)当90时，求AM的长；(2)当cos 时，求CM的长解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设CMt(0t2)，则各点的坐标为A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N，M(0,1，t)所以，(0,1，t)，(1,0,2)设平面DMN的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n10，n10.即x12y10，y1tz10.令z11，则y1t，x12t.所以n1(2t，t,1)是平面DMN的一个法向量设平面A1DN的法向量为n2(x2，y2，z2)，则n20，n20.即x22z20，x22y20.令z21，则x22，y21.所以n2(2,1,1)是平面A1DN的一个法向量从而n1n25t1.(1)因为90，所以n1n25t10，解得t.从而M.所以AM.(2)因为|n1|，|n2|，所以cosn1，n2.因为n1，n2或，所以，解得t0或t.根据图形和(1)的结论可知t，从而CM的长为.22.(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1，AC，AB2，BC1，D是棱CC1的中点(1)证明：A1D平面AB1C1；(2)在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？证明你的结论；(3)求二面角BAB1C1的余弦值的大小解析：(1)证明：根据题意，以C为坐标原点，CB、CC1、CA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，B(1,0,0)，A(0,0，)，C1(0，0)，B1(1，0)，A1(0，)，D，则，(1,0,0)，(1，)，0，0，即A1DB1C1，A1DAB1，B1C1AB1B1，A1D平面AB1C1.(2)当点E为棱AB的中点时，DE平面AB1C1.证明如下：取BB1的中点F，连接EF，FD，DE.E、F分别为AB、BB1的中点，EFAB1.AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，EF平面AB1C1.同理可证FD平面AB1C1.EFFDF，平面EFD平面AB1C1.DE平面EFD，DE平面AB1C1.(3)设n(x，y，z)是平面ABB1的法向量，由得取z1，则n(，0,1)是平面ABB1的一个法向量又是平面AB1C1的一个法向量，且，n与二面角BAB1C1的大小相等则cos，n.故二面角BAB1C1的余弦值的大小为.
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