D12数列的极限65482学习教案

会计学1D12数列数列(shli)的极限的极限65482第一页，共36页。第1页/共36页第二页，共36页。, 设有数列设有数列(shli) 及常数及常数(chngsh) a，如果，如果当当 n N 时时,总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称数列否则称数列发散发散 .几何解释几何解释 :aaa)(即即)(Nn 或或1Nx2Nx则称该数列则称该数列的极限为的极限为 a ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共36页第三页，共36页。)(1n趋势(qsh)不定收 敛发 散机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共36页第四页，共36页。证明(zhngmng)数列的极限(jxin)为1. 证: 欲使即只要(zhyo)因此 , 取则 就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共36页第五页，共36页。例例2. 已知已知证明证明(zhngmng)证证:欲使欲使只要只要(zhyo)即即取取则则时，时，当当Nn 就有就有故故故也可取故也可取(kq)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页/共36页第六页，共36页。证明证明(zhngmng)等等比数列比数列证证:欲使欲使只要只要(zhyo)即即亦即亦即因此因此(ync) , 取取, 则当则当 n N 时时,就有就有故故的极限为的极限为 0 . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第6页/共36页第七页，共36页。例例4. 已知已知证明证明(zhngmng).0limnnx证证:0nx, ) 1 ,0(欲使欲使,0nx只要只要(zhyo)即即n取取则则时，时，当当Nn 就有就有,0nx故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取故也可取(kq)1N也可由也可由N 与与 有关有关, 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .说明说明: 取取机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页/共36页第八页，共36页。ab证证: 用反证法用反证法.及及且且取取因因故存在故存在(cnzi) N1 , 从而从而(cng r)同理同理, 因因,limbxnn故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当使当 n N1 时时, 2ba2ab2ab假设假设从而从而矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时, 故假设不真故假设不真 !nx满足的不等式满足的不等式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页/共36页第九页，共36页。是发散是发散(fsn)的的. 证证: 用反证法用反证法.假设假设(jish)数列数列收敛收敛 , 则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在 .取取则存在则存在 N ,但因但因交替取值交替取值 1 与与1 , 内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在21a21aa长度为长度为 1 的开区间的开区间 使当使当 n N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第9页/共36页第十页，共36页。证证: 设设取取则则当当时时, 从而从而(cng r)有有取取 则有则有由此证明收敛由此证明收敛(shulin)数列必有界数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立 .例如例如,虽有界但不收敛虽有界但不收敛 .有有数列数列机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页/共36页第十一页，共36页。定理定理(dngl)1.3(dngl)1.3（保号性）（保号性）（或（或ab)ab)则存在则存在(cnzi)(cnzi)正整数正整数N,N,当当nNnN时时，有，有证证: .设设ab2ba2ab2ab23ba22abnabax取取因因故存在故存在(cnzi) N1 , 从而从而同理同理, 因因故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有2banx使当使当 n N1 时时, 23ab从而从而则当则当 n N 时时,有有 ,max21NNN 取2banxa+bn2y 第11页/共36页第十二页，共36页。推论推论(tuln)1.2(tuln)1.2当当nNN时，有时，有设设,limaxnn且ab),),推论推论(tuln)1.3(tuln)1.3当当nNN时，有时，有设设,limaxnn且a0),),第12页/共36页第十三页，共36页。第13页/共36页第十四页，共36页。 14 14 数列数列(shli)(shli)极限的极限的四则运算四则运算第14页/共36页第十五页，共36页。证明证明(zhngmng) 1）有有有有取取第15页/共36页第十六页，共36页。2）, 0 时，时，当当2Nn 有有取取,max21NNN 时，有时，有则当则当Nn 第16页/共36页第十七页，共36页。 注意：加法运算及乘法运算可以推广注意：加法运算及乘法运算可以推广(tugung)到有限个情况到有限个情况都发散都发散(fsn) 注意两个注意两个(lin )发散数列的和（或差）不一发散数列的和（或差）不一定收敛也不一定发散定收敛也不一定发散第17页/共36页第十八页，共36页。解解=1解解第18页/共36页第十九页，共36页。解解21第19页/共36页第二十页，共36页。1.5 数列数列(shli)收敛判别法收敛判别法单调单调(dndio)有有界原理界原理 夹挤定理夹挤定理(dngl)柯西审敛准则柯西审敛准则 第20页/共36页第二十一页，共36页。nx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明(zhngmng)略 )ab机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共36页第二十二页，共36页。证明证明(zhngmng)数列数列nx极限极限(jxin)存在存在 . 证证: 利用利用(lyng)二项式公式二项式公式 , 有有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第22页/共36页第二十三页，共36页。) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn大大 大大 正正又比较(bjio)可知机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第23页/共36页第二十四页，共36页。记此极限(jxin)为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限(jxin) .原题 目录 上页 下页 返回 结束 11)1 (1nnnx!21!31!1n又第24页/共36页第二十五页，共36页。2. 夹挤定理夹挤定理(dngl) (准则准则2) 证证: 由条件由条件(tiojin) (2) ,令令则则 有有即即故故 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 即即即即第25页/共36页第二十六页，共36页。例例. 证明证明(zhngmng)证证: 利用利用(lyng)夹夹逼准则逼准则 .且且11由由机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第26页/共36页第二十七页，共36页。3. 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(zhnz)(柯西审敛原理柯西审敛原理) 数列数列(shli)极限极限(jxin)存在的充要条件存在的充要条件是是:存在正整数存在正整数 N ,使当使当时时,证证: “必要性必要性”.设设则则时时, 有有 使当使当因此因此“充分性充分性” 证明从略证明从略 .有有柯西柯西 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第27页/共36页第二十八页，共36页。*4. 收敛数列收敛数列(shli)的任一子数列的任一子数列(shli)收敛收敛于同一极限于同一极限 .证证: 设数列设数列(shli)是数列是数列(shli)的任一子数列的任一子数列 .若若则则,N当当 Nn 时时, 有有现取正整数现取正整数 K , 使使于是当于是当时时, 有有从而有从而有由此证明由此证明 *机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第28页/共36页第二十九页，共36页。由此性质由此性质(xngzh)可知可知 ,若数列有两个若数列有两个(lin )子数列收敛子数列收敛于不同的极于不同的极限限 ,例如例如(lr)， 发散发散 !则原数列一定发散则原数列一定发散 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: 第29页/共36页第三十页，共36页。1. 数列极限数列极限(jxin)的的 “ N ” 定义及定义及应用应用2. 收敛数列收敛数列(shli)的性的性质质:唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则极限存在准则:夹逼准则夹逼准则 ; 单调有界准则单调有界准则 ; 柯西准则柯西准则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第30页/共36页第三十一页，共36页。1. 如何如何(rh)判断极限不存判断极限不存在在?方法方法1. 找一个找一个(y )趋于趋于的子数的子数列列;方法方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知已知, 求求时时,下述作法是否正确下述作法是否正确? 说明理由说明理由.设设由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得不对不对!此处此处机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第31页/共36页第三十二页，共36页。故极限(jxin)存在，1 1. .设 , 且求解：解：设则由递推公式(gngsh)有1数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共36页第三十三页，共36页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 证证: 显然(xinrn)证明(zhngmng)下述数列有极限 .即单调增,又存在“拆项相消拆项相消” 法法第33页/共36页第三十四页，共36页。我国古代(gdi)魏末晋初的杰出数学家.他撰写(zhun xi)的重 差对九章算术中的方法(fngf)和公式作了全面的评 注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 .他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小,割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :第34页/共36页第三十五页，共36页。法国(f u)数学家, 他对数学(shxu)的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集(qunj)共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等,有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 第35页/共36页第三十六页，共36页。