2020年高考数学一轮经典例题 任意角的三角函数（1） 理

2020年高考数学（理）一轮经典例题任意角的三角函数（1）例1 下列说法中，正确的是 A第一象限的角是锐角B锐角是第一象限的角C小于90的角是锐角D0到90的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90的角”和“0到90的角”在角的概念推广以后，这些概念容易混淆因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键【解】第一象限的角可表示为|k36090k360，kZ，锐角可表示为|090，小于90的角为|90，0到90的角为|090因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)(90)分别是第几象限角？【分析】 由sincos0，所以在二、四象限；由sintan0，所以在二、三象限因此为第二象限的角，然后由角的【解】(1)由题设可知是第二象限的角，即90k360180k360(kZ)，的角(2)因为 1802k36023602k360(kZ)，所以2是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角(3)解法一：因为 90+k360180k360(kZ)，所以 180k36090k360(kZ)故 90k36090k360(kZ)因此90是第四象限的角解法二：因为角的终边在第二象限，所以的终边在第三象限将的终边按逆时针旋转90，可知90的终边在第四象限内【说明】在确定形如k180角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；确定象限时，k与k是等效的例3 已知集合E=|cossin，02，F=|tansin，那么EF是区间 【分析】 解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易【解法一】 由正、余弦函数的性质，【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，ATMP，即tansin，由正弦线和余弦线可看出，当应选(A)可排除(C)，(D)，得(A)【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有ATMP，即tansin，所以(B)，(C)，(D)均不成立用排除法也有些别的方法，可自己练习例 4 (1)已知角终边上一点P(3k，4k)(k0)，求sin，cos，tan的值；【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是三两个象限，因此必须分两种情况讨论【解】(1)因为x3k，y=4k，例5 一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大【分析】解答本题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式本题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式，再用配方法求出半径r和已知周长l的关系【解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为，则扇形弧长为l2r所以【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公形的问题中，中心角用弧度表示较方便本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周长为定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值本题也可将面积表示为的函数式，用判别式来解【分析】第(1)小题因在第二象限，因此只有一组解；第(2)小题给了正弦函数值，但没有确定角的象限，因此有两组解；第(3)小题角可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论【解】(3)因为sin=m(|m|1)，所以可能在四个象限或的终边在x轴上例7(1)已知 tan=m，求sin的值；【分析】(1)已知tan的值求sin或cos，一般可将tan母都是sin和cos的同次式，再转化为关于tan的式子求值，转化的方法是将分子、分母同除以cos(或cos2，这里cos0)，即可根据已知条件求值【说明】 由tan的值求sin和cos的值，有一些书上利用公很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可解决函数的定义来证明由左边=右边，所以原式成立【证法三】(根据三角函数定义)设P(x，y)是角终边上的任意一点，则左边=左边，故等式成立例9 化简或求值：【分析】 解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值=sincos(因为为第三象限角)例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表达式； 【分析】在(1)中理解函数符号的含义，并将f(sin x)化成f(cos(90x)是充分利用已知条件和诱导公式的关键在(2)中必须正确掌握分段函数求值的方法【解】(1)f(sin x)f(cos(90x)cos9(90x)=cos(2360909x)cos(909x)=sin9x；1