RLC元件电压电流关系的相量形式学习教案

会计学1RLC元件电压元件电压(diny)电流关系的相量形电流关系的相量形式式第一页，共27页。 上式表明上式表明(biomng)，线性电阻的电压和电流是同一频，线性电阻的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零相位差为零(同相同相)，即，即 iumm RIURIU或 线性电阻元件的时域模型如图线性电阻元件的时域模型如图10-14(a)所示，反映电压所示，反映电压(diny)电流瞬时值关系的波形图如图电流瞬时值关系的波形图如图(b)所示。所示。图 10-14第1页/共27页第二页，共27页。 由上图可见，在任一时刻，电阻电压由上图可见，在任一时刻，电阻电压(diny)的瞬时值是电的瞬时值是电流瞬时值的流瞬时值的R倍，电压倍，电压(diny)的相位与电流的相位相同，即电的相位与电流的相位相同，即电压压(diny)电流波形同时达到最大值，同时经过零点。电流波形同时达到最大值，同时经过零点。 由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以数，可以(ky)用相量分别表示如下：用相量分别表示如下： e2ReeRe)(e2ReeRe)( j jm j jmttttIItiUUtu 将以上将以上(yshng)两式代入式两式代入式1018中，得到中，得到 e2Ree2Re( j jttIRUtu）第2页/共27页第三页，共27页。 由此得到线性电阻电压由此得到线性电阻电压(diny)电流关系的相量形式电流关系的相量形式为为 IRU 这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间的两个关系的两个关系(gun x)，即，即 (1) 电阻电压有效值等于电阻乘以电流的有效值，即电阻电压有效值等于电阻乘以电流的有效值，即 U=RI (2) 电阻电压与其电流的相位相同，即电阻电压与其电流的相位相同，即 u =i第3页/共27页第四页，共27页。 线性电阻线性电阻(dinz)元件的相量模型如图元件的相量模型如图(a)所示，反映所示，反映电压电流相量关系的相量图如图电压电流相量关系的相量图如图(b)所示，由此图可以清楚所示，由此图可以清楚地看出电阻地看出电阻(dinz)电压的相位与电阻电压的相位与电阻(dinz)电流的相电流的相位相同。位相同。 正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系IRU第4页/共27页第五页，共27页。二、电感元件电压电流关系二、电感元件电压电流关系(gun x)(gun x)的相量形式的相量形式tiLtudd)( 当电感电流当电感电流i(t)=Imcos( t+i)随时间按正弦随时间按正弦(zhngxin)规律变化时，电感上电压电流关系如下：规律变化时，电感上电压电流关系如下： )90 cos() sin( ) cos(dd) cos()(imimimumtLItLItItLtUtu 线性电感的电压电流关系线性电感的电压电流关系(gun x)采用关联参考方向时，采用关联参考方向时，第5页/共27页第六页，共27页。 表明线性电感的电压表明线性电感的电压(diny)和电流是同一频率的正弦和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间的关系以及电压时间函数。其振幅或有效值之间的关系以及电压(diny)电电流相位之间的关系为流相位之间的关系为 90 iummLIULIU或第6页/共27页第七页，共27页。 电感元件的时域模型如图电感元件的时域模型如图(a)所示，反映电压电流瞬时值关系所示，反映电压电流瞬时值关系(gun x)的波形图如图的波形图如图(b)所示。由此可以看出电感电压超前于电感所示。由此可以看出电感电压超前于电感电流电流90，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。值。第7页/共27页第八页，共27页。 由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦(zhngxin)时间函数，可以用相量分别表示，将它们代入式时间函数，可以用相量分别表示，将它们代入式1024中得到中得到 e2 jRe)e2Re(dde2Re(jjjtttILItLUtu） 由此得到电感由此得到电感(din n)元件电压相量和电流相量的关系式元件电压相量和电流相量的关系式 ILUj第8页/共27页第九页，共27页。 电感元件的相量模型如图电感元件的相量模型如图(a)所示，电压电流的相量所示，电压电流的相量图如图如(b)所示。由此可以清楚所示。由此可以清楚(qng chu)看出电感电压的相看出电感电压的相位超前于电感电流的相位位超前于电感电流的相位90。 j 90sinj90cose90j图图 10-17第9页/共27页第十页，共27页。三、电容三、电容(dinrng)(dinrng)元件电压电流关系的相量形式元件电压电流关系的相量形式tuCtidd)( 线性电容在电压电流采用关联参考线性电容在电压电流采用关联参考(cnko)方向时方向时第10页/共27页第十一页，共27页。 线性电容的电压和电流是同一频率的正弦线性电容的电压和电流是同一频率的正弦(zhngxin)时间函数。其振幅或有效值之间的关系。以时间函数。其振幅或有效值之间的关系。以及电压电流相位之间的关系为及电压电流相位之间的关系为 90 uimmCUICUI或 当电容电压当电容电压u(t)=Umcos( t+u)随时间按正弦规律随时间按正弦规律(gul)变化时变化时)90 cos() sin( ) cos(dd) cos()(umumumimtCUtCUtUtCtIti第11页/共27页第十二页，共27页。 电容元件的时域模型如图电容元件的时域模型如图(a)所示，反映电压电流瞬时值关系的所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图波形图如图(b)所示。由此图可以看出所示。由此图可以看出(kn ch)电容电流超前于电容电容电流超前于电容电压电压90，当电容电压由负值增加经过零点时，其电流达到正最大，当电容电压由负值增加经过零点时，其电流达到正最大值。值。第12页/共27页第十三页，共27页。 由于电容元件的电压电流都是频率相同的正弦由于电容元件的电压电流都是频率相同的正弦(zhngxin)时间时间函数，可以用相量分别表示，代入式中得到函数，可以用相量分别表示，代入式中得到 由此得到电容元件电压由此得到电容元件电压(diny)相量和电流相量的相量和电流相量的关系式关系式 UCIje2jRe)e2Re(dde2Re(jjjtttUCUtCIti）第13页/共27页第十四页，共27页。 电容元件电容元件(yunjin)的相量模型如图的相量模型如图(a)所示，其相量关系如图所示，其相量关系如图(b)所示。所示。 第14页/共27页第十五页，共27页。例例 电路电路(dinl)如图如图 (a)所示，已知所示，已知 2rad/s ,A cos2)(,H2,3SttiLR 试求电压试求电压(diny)u1(t), u2(t), u(t)及其有效值相量。及其有效值相量。 第15页/共27页第十六页，共27页。解：根据图解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相所示的相量量 模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同，模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同， 仅将时域模型中各电压电流符号仅将时域模型中各电压电流符号 用相应的相量符号用相应的相量符号 表示，根表示，根据相据相 量形式的量形式的KCL求出电流相量求出电流相量 uuuii、21SUUUII、21S1A A01SII 由相量形式由相量形式(xngsh)的的VCR方程求出电方程求出电压压 V904V4 j 0122 jjjV03013S2S1ILILUIRIRU(b)第16页/共27页第十七页，共27页。 根据相量形式根据相量形式(xngsh)的的KVL方程式得到方程式得到 V1 .5354 j321UUU 得到得到(d do)相应电压的瞬时值表相应电压的瞬时值表达式达式 V )1 .532cos(25)(V )902cos(24)(V 2cos23)(21ttuttuttu 相量图如图相量图如图(c)所示。由此图可以看出电压所示。由此图可以看出电压(diny)u(t)超前于电超前于电流流i(t)的角度为的角度为53.1。此例中，。此例中，U=5U1+U2=3+4=7(c)第17页/共27页第十八页，共27页。例例 电路电路(dinl)如图如图(a)所示所示,已知已知5rad/s , Vcos210)(, F1 . 0,4SttuCR解：画出图解：画出图(a)相量模型如图相量模型如图(b)所示。根据所示。根据RLC元件元件(yunjin)相量形相量形 式的式的VCR方程计算出电流相量。方程计算出电流相量。 A5 . 205 . 24010S1RUI 试求电流试求电流(dinli)i1(t), i2(t), i(t)及其有效值相量。及其有效值相量。第18页/共27页第十九页，共27页。A905j5Aj20100.151j010j12CUIs 根据相量形式的根据相量形式的KCL方程方程(fngchng)得到得到 A4 .6359. 5j55 . 221III 得到得到(d do)电流的瞬时值表达式电流的瞬时值表达式 A 5cos25 . 2)(1ttiA )905cos(25)(2ttiA )4 .635cos(259. 5)(tti第19页/共27页第二十页，共27页。 根据根据(gnj)所求得的各电压电流相量画出相量图。所求得的各电压电流相量画出相量图。 由此图可以由此图可以(ky)看出电流看出电流i(t)超前于电压超前于电压uS(t)的角度为的角度为63.4。 此例中，此例中，I=5.59 I1+I2=2.5+5=7.5,再次说明正弦电再次说明正弦电流电路中流流电路中流(zhngli)出任一结点的全部电流有效值的代出任一结点的全部电流有效值的代数和并不一定等于零。数和并不一定等于零。 第20页/共27页第二十一页，共27页。四、阻抗四、阻抗(zkng)(zkng)与导纳与导纳 欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式为容抗称为电容的电抗，简称为感抗称为电感的电抗，简称称为电阻 j1 j1 j j CCCCLLLLRRRRCIUICULIUILURIUIRU 现将现将RLC元件元件(yunjin)电压电流的相量关系列写如下：电压电流的相量关系列写如下： 第21页/共27页第二十二页，共27页。 我们注意到，我们注意到，RLC元件电压相量与电流相量之间的关系类似元件电压相量与电流相量之间的关系类似欧姆定律，电压相量与电流相量之比是一个与时间无关的量，其欧姆定律，电压相量与电流相量之比是一个与时间无关的量，其中中R，称为电阻；，称为电阻；jL，称为电感的电抗，简称为感抗；，称为电感的电抗，简称为感抗；1/jC，称为电容的电抗，简称为容抗。为了，称为电容的电抗，简称为容抗。为了(wi le)使用方便，我们使用方便，我们用大写字母用大写字母Z来表示这个量，它是一个复数，称为阻抗。来表示这个量，它是一个复数，称为阻抗。为容抗称为电容的电抗，简称为感抗称为电感的电抗，简称称为电阻 j1 j1 j j CCCCLLLLRRRRCIUICULIUILURIUIRU第22页/共27页第二十三页，共27页。Cj1jLRIUZ 引入阻抗后，我们可以将以上三个关系式用一个式引入阻抗后，我们可以将以上三个关系式用一个式子子(sh zi)来表示。来表示。 ZIUIZU 式式1032称为称为(chn wi)欧姆定律的相量形欧姆定律的相量形式。式。 阻抗定义为电压阻抗定义为电压(diny)相量与电流相量之比，即相量与电流相量之比，即第23页/共27页第二十四页，共27页。 与上相似，与上相似，RLC元件电压电流的相量关系元件电压电流的相量关系(gun x)也可也可以写成以下形式以写成以下形式 j j j1 j1 CCCCLLLLRRRR为容纳称为电容的电纳，简称为感纳称为电感的电纳，简称称为电导CUIUCILUIULIGUIUGI 我们注意到，我们注意到，RLC元件电流相量与电压相量之比是一个元件电流相量与电压相量之比是一个与时间无关的量，其中与时间无关的量，其中G，称为电导；，称为电导；1/jL，称为电感的电，称为电感的电纳，简称为感纳；纳，简称为感纳；jC，称为电容的电纳，简称为容纳。我，称为电容的电纳，简称为容纳。我们用大写字母们用大写字母Y来表示来表示(biosh)这个量，它是一个复数，称这个量，它是一个复数，称为导纳。为导纳。第24页/共27页第二十五页，共27页。LCGUIYj1j 引入导纳后，可以将以上关系式用一个式子引入导纳后，可以将以上关系式用一个式子(sh zi)来表来表示。示。 YUIUYI 显然，同一个二端元件的阻抗显然，同一个二端元件的阻抗(zkng)与导纳互为倒与导纳互为倒数关系，即数关系，即 ZYYZ11 导纳导纳Y定义为电流定义为电流(dinli)相量与电压相量之比，即相量与电压相量之比，即 第25页/共27页第二十六页，共27页。 现将反映两类约束关系现将反映两类约束关系(gun x)的的KCL、KVL和二端元件和二端元件VCR的时域和相量形式列写如下。它们是相量法分析正弦稳态电的时域和相量形式列写如下。它们是相量法分析正弦稳态电路的基本依据。路的基本依据。 1 dd 1 dd e )cos(2)( e )cos(2)( 0 0 0 0 jSSiSjSSuS1111iuUYIIZUidtCutuCiudtLitiLuGuiRiuIItUtiUUtUtuUuIittnkknkknkknkk电容电感电阻电流源电压源基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律相量形式时域形式第26页/共27页第二十七页，共27页。