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课时作业(五十五)一、选择题1已知向量a(8，x，x)，b(x,1,2)，其中x0.若ab，则x的值为()A8B4C2 D0答案B解析因x8,2,0时都不满足ab.而x4时，a(8,2,4)2(4,1,2)2b，ab.另解：ab存在0使ab(8，x)(x，2).选B.2已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A. B.C. D.或答案C解析根据题意得(ab)，a，b共面3已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则()等于()A. B.C. D.答案A解析依题意有()2.4已知四边形ABCD满足：0，0，0，0，则该四边形为()A平行四边形 B梯形C平面四边形 D空间四边形答案D解析由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形5已知G是ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若，则等于()A1 B3C. D2答案B解析若设BC边的中点为M，则22223，而，所以3.6(2020广东佛山)正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是()A90 B60C30 D0答案D解析如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为a，则A1(a,0，a)，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，(a,0，a)，(a，a,0)，(a，a，a)EF是直线AC与A1D的公垂线，.设(x，y，z)，(x，y，z)(a,0，a)axaz0，(x，y，z)(a，a,0)axay0.a0，xyz.(x，x，x).，即BD1EF.二、填空题7在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)答案abc解析()()abc.8在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面给出四个命题：()23()2()0.与的夹角为60此正方体体积为：|则错误命题的序号是_(填出所有错误命题的序号)答案解析AD1与A1B两异面直线夹角为60，但与的夹角为120，注意方向0.正确的应是|.9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O是面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则|OP|的最小值为_答案解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则O(1,1,0)设P(x,1,1)(0x2)则|OP|.所以当x1，即P为C1D1中点时，|OP|取最小值.10已知空间四边形ABCD，_.答案0解析()()()0.三、解答题11正方体ABCDABCD的棱长为a.求证：ABAC.解析解法1，()()由已知：|a，知又00，即ABAC.解法2建立空间直角坐标系，也易证12如图所示，在空间直角坐标系中BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，0)，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30.(1)求向量的坐标；(2)设向量和的夹角为，求cos的值解析(1)如图所示，过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中，由BDC90，DCB30，BC2，得BD1，CD.DECDsin30.OEOBBDcos601.D点坐标为(0，)，即向量的坐标为(0，)(2)依题意：(，0)，(0，1,0)，(0,1,0)(，1，)，(0,2,0)设向量和的夹角为，则cos.cos.13如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，BC1AB1，BC1A1C，求证：AB1A1C.解析，()()|20，|2.同理，|20()，0.又，()0.设D为BC的中点，连AD，则2.20，BCAD，ABAC.又A1AB1B，RtA1ACRtB1BA(SAS)，A1CAB1.14设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b，ab以及a与b所成角的余弦值，并确定、的关系，使ab与z轴垂直解析2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(12,13,16)，3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(5,13，28)，ab(3,5，4)(2,1,8)32514821，|a|，|b|，cosa，b，由(ab)(0,0,1)(32，5，48)(0,0,1)480知，只要，满足2即可使ab与z轴垂直
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