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课时作业(五十七)一、选择题1已知二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25的直线的条数为()A2B3C4 D5答案B解析过点P分别作平面、的垂线l1、l2，则所求直线m与l1、l2所成的角都是65，且直线l1、l2相交所成的两对对顶角的大小分别是50与130.于是可将问题转化为过点P且与定直线l1、l2所成的角都是65的直线m的条数问题结合图形易知，过点P且与定直线l1、l2所成的角都是65的直线m共有3条，选B.2在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()ABC. D.答案D解析建立空间直角坐标系如图不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，(2,2,0)，(0,1,2)cos.3(2020黄冈)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A90 B60C45 D30答案C解析易知当折成的二面角BACD为90时，体积最大，正方形的对角线BD被折成两段OD，OB，此时OB与BD所成的角即为BD与平面ABC所成的角，易知ODB为等腰直角三角形，DBO45，选C.4正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均相等，则二面角AA1BC的大小为()Aarctan BarccosCarcsin Darccos答案A解析取AB中点E，则CE平面A1AB过E作EFA1B于F，连结CF，则CFA1BCFE为二面角AA1BC的平面角，设BC1则CE，EF.tanCFE故选A5. 如图，正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，平面AC与平面AE成60的二面角，AB2，则异面直线CF与AB所成的角为()A30 B45C60 D75答案B解析连结CE，可知CEBEBC2FE，ABFE.而易证FEEC，则CFE45.故而选B.评析本题是一个立体几何的计算问题，首先要把题目中所给的二面角的平面角找出来，再作出异面直线所成的角进行计算求解，是一个常规思路的题目6在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成角的大小为()A45 B90C60 D不能确定答案B解析过O点作直线EFAB分别交AD、BC于E、F，则直线OP必在平面A1EFB1上，易证直线AM平面A1EFB1，直线AM直线OP，故选B.评析变化当中寻找不变的规律是近年来立体几何中的一种热点题型此类问题的思考方法是分析变化的直线OP在哪个不变的平面内移动，把AM和OP的关系转化为直线AM和平面A1EFB1的位置关系7平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，则AC1的长为()A. B.C. D.答案B解析|8(2020郑州)在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为()A. B.C. D.答案A解析在原图中连结AC与BD交于O点，则ACBD，在折起后的图中，由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DOOB，由于DOAC，因此DOB就是二面角BACD的平面角，由BD1得cos DOB，故选A.二、填空题9已知正四棱椎的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于_答案解析如图，在正四棱锥SABCD中，底面对角线BD2，则边长BC2作SO底面ABCD，作OECD，连SE，则SEO就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由V(2)2SO12，得SO3.则在RtSEO中tanSEO，SEO，即侧面与底面所成的二面角等于.10已知A(1,0)，B(2,1)，C(1，1)若将坐标平面沿x轴折成直二面角，则折后BAC的余弦值为_答案解析作CMx轴于M，折后可知，CMBM，AC，BM，BC，又AB，cos BAC.三、解答题11(2020济南)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中点，PC与平面ABCD所成角为30.(1)求二面角PCED的大小；(2)当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2.解析(1)取AD的中点O，连结PO.PAD是正三角形，POAD，又面PAD面ABCD，PO面ABCD，以O为原点，过O作AB平行线为x轴， OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连结OC，则PCO为PC与面ABCD所成的角，PCO30，设ADa，则POa，OCa，CDa，P(0,0，a)，C(a，a,0)，E(a，0)，(a，a)，(a，a，a)，设平面PCE的一个法向量为n(1，y，z)，则，n(1，)，又平面DEC的一个法向量为(0,0，)a，cos，二面角PCED为45.(2)D(0，0)，则(a,0,0)，D到面PCE的距离da2.则a，所以当AD长为时，点D到平面PCE的距离为2.12(2020全国卷，理)如图，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.(1)证明：SE2EB.(2)求二面角ADEC的大小解析解法一：(1)连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DGGCBG1，即DBC为直角三角形，故BCBD.又SD平面ABCD，故BCSD.所以，BC平面BDS，BCDE.作BKEC，K为垂足因平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直DE平面SBC，DEEC，DESB.SB，DE，EB，SESBEB，所以SE2EB.(2)由SA，AB1，SE2EB，ABSA，知AE1，又AD1.故ADE为等腰三角形取ED中点F，连结AF，则AFDE，AF.连结FG，则FGEC，FGDE.所以，AFG是二面角ADEC的平面角连结AG，AG，FG，cosAFC所以，二面角ADEC的大小为120.解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)(1)S(0,2，2)，B(1,1,0)设平面SBC的法向量为n(a，b，c)由nS，nB得nS0，nB0.故2b2c0，ab0.令a1，则b1，c1，n(1,1,1)又设S(0)，则E(，)D(，)，D(0,2,0)设平面CDE的法向量m(x，y，z)，由mD，mD，得mD0，mD0.故0,2y0.令x2，则m(2,0，)由平面DEC平面SBC得mn，mn0,20，2.故SE2EB.(2)由(1)知E(，)，取DE中点F，则F(，)，F(，)，故FD0，由此得FADE.又E(，)，故ED0，由此得ECDE，向量F与E的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cosF，E，所以，二面角ADEC的大小为120.13(2020陕西卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点(1)证明：PC平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小解析解法一(1)如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)，2420，2020，PCBF，PCEF，又BFEFF，PC平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1(2,2，2)，平面BAP的法向量n2(0,2，0)，n1n28.设平面BEF与平面BAP的夹角为，则cos |cosn1，n2|，45，平面BEF与平面BAP的夹角为45.解法二(1)连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形，又F是PC的中点，EFPC，又BP2BC，F是PC的中点，BFPC又BPEFF，PC平面BEF.(2)PA平面ABCD，PABC，又ABCD是矩形，ABBC，又PAABA，BC平面BAP，BCPB，又由(1)知PC平面BEF，直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在PBC中，PBBC，PBC90，PCB45.所以平面BEF与平面BAP的夹角为45.14(2020天津卷)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD平面ABF；(3)求二面角BEFA的正切值解析(1)因为四边形ADEF是正方形，所以FAED.故CED为异面直线CE与AF所成的角因为FA平面ABCD，所以FACD，故EDCD.在RtCDE中，CD1，ED2，CE3，故cosCED.所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)过点B作BGCD，交AD于点G，则BGACDA45.由BAD45，可得BGAB.从而CDAB.又CDFA，FAABA，所以CD平面ABF.(3)由(2)及已知，可得AG.即G为AD的中点取EF的中点N，连接GN.则GNEF.因为BCAD，所以BCEF.过点N作NMEF，交BC于M，则GNM为二面角BEFA的平面角连接GM，可得AD平面GNM，故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM.由NGFA，FAGM，得NGGM.在RtNGM中，tanGNM.所以二面角BEFA的正切值为.
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