2020年高考数学《数列》专题 等比数列学案

基础过关第3课时 等比数列1等比数列的定义：q（q为不等于零的常数）2等比数列的通项公式： ana1qn1 anamqnm 3等比数列的前n项和公式： Sn 4等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2 （或b ）5等比数列an的几个重要性质： m，n，p，qN*，若mnpq，则 Sn是等比数列an的前n项和且Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列 若等比数列an的前n项和Sn满足Sn是等差数列，则an的公比q 典型例题例1. 已知等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求项数n和公比q的值解：an是等比数列，a1ana2an1，解得或若a12，an64，则2qn164qn32q由Sn，解得q2，于是n6若a164，an2，则64qn12qn由Sn解得q，n6变式训练1.已知等比数列an中，a1a964，a3a720，则a11 解：64或1 由或 q2或q22， a11a7 q2， a1164或a111例2. 设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项解：若q1，则na140，2na13280矛盾， q1 两式相除得：qn81，q12a1又q0， q1，a10 an是递增数列 an27a1qn1解得 a11，q3，n4变式训练2.已知等比数列an前n项和Sn2n1，an2前n项和为Tn，求Tn的表达式解：(1) a12a220，公比q又S4S2，将q代入上式得a11，ana1qn1() n1 (nN*)(2) an() n1()4n5原不等式的解为n1或n3或n5例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解：设这四个数为ad，a，ad， 依题意有： 解得： 或 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1变式训练3.设是等差数列的前项和，则等于（ ）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18答案： D。解析：由得，再由。例4. 已知函数f(x)(x1)2，数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列(q1)，若a1f(d1)，a3f(d1)， b1f(q1)，b3f(q1)，(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设数列cn对任意的自然数n均有：，求数列cn前n项和Sn解：(1) a1(d2)2，a3d2，a3a12d即d2(d2)22d，解之得d2a10，an2(n1)又b1(q2)2，b3q2，b3b1q2即q2(q2)2 q2，解之得q3b11，bn3n1(2) SnC1C2C3Cn4(13231332n3 n1)设1323332n3 n13131232333n3 n21332333 n1n3 n3 nnSn2n3n3n1变式训练4.已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项求数列an与bn的通项公式；设数列cn对任意正整数n，均有，求c1c2c3c2020的值解：由题意得（a1d）(a113d)(a14d)2(d0) 解得d2，an2n1，bn3n1 当n1时，c13 当n2时， 故 归纳小结1在等比数列的求和公式中，当公比q1时，适用公式Sn，且要注意n表示项数；当q1时，适用公式Snna1；若q的范围未确定时，应对q1和q1讨论求和2在等比数列中，若公比q 0且q1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项3若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为xd，x，xd，再依题意列出方程求x、d即可4a1与q是等比数列an中最活跃的两个基本量