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高考易错题举例解析高考数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略.也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误.本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助,加强思维的严密性训练. 忽视等价性变形，导致错误，但与不等价【例1】已知，若求的范围.错误解法 由条件得 2 2得 +得 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的.当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正确解法 由题意有, 解得： 把和的范围代入得 .在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题. 忽视隐含条件，导致结果错误 【例2】(1) 设是方程的两个实根，则的最小值是思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当.利用一元二次方程根与系数的关系易得：有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和,这正是思维缺乏反思性的体现,如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案.原方程有两个实根， 当时，的最小值是8；当时，的最小值是18，这时就可以作出正确选择，只有（B）正确.(2)已知，求的取值范围.错误解法 由已知得,因此,当时，有最大值，即的取值范围是(, ).错误分析 没有注意的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值.事实上，由于 1 31，从而当=1时有最小值1，的取值范围是1, . 忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误【例3】已知：0，0 ，,求的最小值.错误解法 ,的最小值是8.错误分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式，第一次等号成立的条件是,第二次等号成立的条件是，显然，这两个条件是不能同时成立的,因此，8不是最小值.正确解法由得：11=, 且16，1+17，原式17+4= (当且仅当时，等号成立)，的最小值是. 不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列的前项和，求.错误解法 错误分析 显然，当时，.因此在运用时，必须检验时的情形，即：.(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点.错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，得 因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得 ， 解之得.错误分析 （如图221；222）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点.xyO图222xyO图221要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程有一正根、一负根时，得解之，得.因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点. 以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误解法 ，.错误分析 在错解中，由，时，应有.在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形.正确解法 若，则有，但，即得与题设矛盾，故.又依题意 ,即因为，所以所以解得 .(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得 整理得 直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为错误分析 此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的；第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透；第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即，而上述解法没作考虑，表现出思维不严密.正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以 即轴，它正好与抛物线相切.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,所求直线为综上，满足条件的直线为：.
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