2020年高三数学二轮复习 专题六第四讲 思想方法与规范解答教案 理

第四讲思想方法与规范解答(五)思想方法1转化与化归思想利用转化与化归思想求空间几何体的体积主要包括割补法和等体积法，主要适用于以下类型：(1)不规则几何体的体积的求解；(2)较复杂几何体的体积的求解例1(2020年高考辽宁卷)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B3 C. D6解析将三视图还原为实物图求体积由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V1243.答案B跟踪训练(2020年高考辽宁卷)如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(锥体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高)解析：(1)证明：证法一连接AB，AC，如图，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB的中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，所以MN平面AACC.证法二取AB的中点P，连接MP，NP，AB，如图，因为M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，所以平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，所以MN平面AACC.(2)解法一连接BN，如图所示，由题意知ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.解法二VAMNCVANBCVMNBCVANBC.2函数与方程思想(1)在空间几何体的表面积和体积计算中，常根据条件分析列出方程，利用方程确定未知量(2)在用空间向量的运算解决空间线线、线面、面面的平行、垂直问题或求空间角时运用的主要思想就是通过列方程(组)求出未知量，得到直线的方向向量和平面的法向量，然后进行计算(3)涉及空间几何体中的最值问题常用到函数思想例2(2020年深圳模拟)如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，CD2AB4，AD，E为CD的中点，将BCE沿BE折起，使得CODE，其中垂足O在线段DE上(1)求证：CO平面ABED；(2)问CEO(记为)多大时，三棱锥CAOE的体积最大，最大值为多少解析(1)在直角梯形ABCD中，CD2AB，E为CD的中点，则ABDE，又ABDE，ADAB，可知BECD.在四棱锥CABEO中，BEDE，BECE，CEDEE，CE，DE平面CDE，则BE平面CDE.因为CO平面CDE，所以BECO.又CODE，且BE，DE是平面ABED内的两条相交直线故CO平面ABED.(2)由(1)知CO平面ABED，所以三棱锥CAOE的体积VSAOEOCOEADOC.在直角梯形ABCD中，CD2AB4，AD，CE2，得OECEcos 2cos ，OCCEsin 2sin ，V sin 2，当且仅当sin 21，(0，)，即时取等号(此时OEDE，O落在线段DE上)故当时，三棱锥CAOE的体积最大，最大值为.跟踪训练已知正三棱柱ABCABC的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，设ABC，ABC的中心分别是O，O，现将此三棱柱绕直线OO旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为_；最小正周期为_(说明：“三棱柱绕直线OO旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大，此时俯视图为一个矩形，其宽为tan 3022，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为.答案：8考情展望高考对本专题的考查，各种题型都有，在选择、填空中多考查空间几何体的三视图与面积、体积问题，在解答题中考查空间平行与垂直的证明与空间角的求法，也常考查探索存在性问题、折叠问题等，难度中档名师押题【押题】已知正方形ABCD的边长为2，ACBDO.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使ACa，得到三棱锥ABCD，如图所示(1)当a2时，求证：AO平面BCD；(2)当二面角ABDC的大小为120时，求二面角ABCD的正切值【解析】(1)根据题意 ，在AOC中，ACa2，AOCO，所以AC2AO2CO2，所以AOCO.因为AC、BD是正方形ABCD的对角线，所以AOBD.因为BDCOO，CO平面BCD，BD平面BCD，所以AO平面BCD.(2)由(1)知，COOD，以O为原点，OC，OD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，D(0，0)，C(，0，0)，B(0，0)设A(x0，0，z0)(x00)，则(x0，0，z0)，(0，0)又设平面ABD的法向量为n(x1，y1，z1)，则，即.所以y10，令x1z0，则z1x0.所以n(z0，0，x0)因为平面BCD的一个法向量为m(0，0，1)，且二面角ABDC的大小为120，所以|cos m，n|cos 120|，得z3x.设平面ABC的法向量为l(x2，y2，z2)，因为(，)，(，0)，则，即令x21，则y21，z2.所以l(1，1，)设二面角ABCD的平面角为，所以cos |cosl，m|.所以tan .