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曲线与方程临沂一中高二数学组临沂一中高二数学组坐标平面上的点和有序数对建立了一一对应的关系. 代数有序数对 几何 点点、曲线、坐标、方程间的关系 几何 代数 点 点的坐标 按规律的运动受某关系的制约 曲线C 二元方程？0)y, x(f 研究与讨论：（1）在直线坐标系中，方程 与曲线： 一三象限角平分线的关系是什么？ 0yx（2）过点A（2，0）平行于 轴的直线 与方 程 的关系是什么？yl2x （3）到两坐标轴的距离相等的点的轨迹与方程： 的关系是什么？xy 研究与讨论：（1）在直线坐标系中，方程 与曲线： 一三象限角平分线的关系是什么？ 0yxxy答：满足方程 的 点 在一三象限的 角平分线上，在一三象限 角平分线上的点同时也满 足方程 0yx)y, x(0yxO 研究与讨论：（2）过点A（2，0）平行于 轴的直线 与方 程的关系是什么？yl2x xy答：过A（2，0）平行于 的 直线 上的点 满足 方程 ；但满足 方程 的点不一定 在直线 上。 )y, x(yl2x 2x l)0 , 2(AO 研究与讨论：（3）到两坐标轴的距离相等的点的轨迹与方程： 的关系是什么？xy xy答：到两坐标轴的距离相等 的点 不一定满足方程 ；但满足方程 的点 一定在曲线上。 （到两坐标轴的距离相等） )y, x(xy xy )y, x(O 问题与讨论： 问题：对于曲线C与方程 的关系可能有哪几种情形？0)y, x(f情形1：在曲线C上的点 满足方程 ,同时，以方程 的解为坐标的点 在曲线 C 上。 )y, x(0)y , x( f0)y, x(f)y, x(情形2：在曲线C上的点 满足方程 ；但以方程 的解为坐 标的点 不一定在曲线 C 上。 )y, x(0)y , x( f0)y,x(f)y, x(情形3： 在曲线C上的点 不一定满足方程 ；但以方程 的解为坐 标的点 在曲线 C 上。 )y,x(0)y , x( f0)y, x(f)y, x(情形4： 曲线C上的点 与以方程 的解为坐标的点 没有必然的 联系。 )y, x(0)y , x( f)y, x( 方程的曲线定义： 一般地在直角坐标系中，如果某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上 的点与一个二元方程0)y,x(f 的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线 叫做方程的曲线。对曲线的方程定义的理解：（1）命题1说明，曲线上没有坐标不满足方 程的点，也就是说曲线上所有的点都适 合这个条件而毫无例外（纯粹性）（2）命题2说明，适合条件的所有点都在曲 线上而毫无遗漏（完备性）（3）这两个命题是互逆的命题，并不是等价 的命题，因而在证明某方程是曲线的方 程时必须分别予以证明。 练习A1.下面给出的 方程F与曲线C中,其中的曲线 是方程的曲线的是: ( )0yx曲线方程xxxxyyyyxy 0yx22yx )A()D()C()B(COOOO 练习A2.下面给出的 方程F与曲线C中,其中的曲线是 否为方程的曲线?为什么? 方程F: ; 曲线C: 方程F: 曲线C: 1yx222xy xy1答:不是.因为还有满足方程的点没有在曲线上.答:是.因为曲线的方程的两个命题都成立. OO 练习A.如图:方程 表示的曲线的是: ( )A()D()C()B(2y4xOOOO 练习1.证明:以坐标原点为圆心,半径为5的圆的 方程是: ,并判断点: 与 是否在这个圆上. 25yx22)4, 3(M1)2 ,52(M2分析:应该如何证明某曲线是一个方程的 曲线 ? 应该证明关于方程的曲线的两个命题都成立.如果点 在方程为 的曲线 上,则sin=_ )cos,(sinA0y2x32练习B证明:证明:1.设M(x0,y0 ) 是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5,所以 5yx2020 也就是:25yx2020即: M(x0,y0 ) 是方程 的解.25yx222.设M(x0,y0 ) 是方程 的解,25yx22那么: 25yx2020两边开方取算术根,得:5yx2020即点M(x0,y0 )到坐标原点的距离等于,点M(x0,y0 ) 是这个圆上的点.25yx22由1、2可知， 是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程。xy5O练习B：点是否在曲线上的检验: 把点M1(3,- 4)的坐标代入方程25yx22左右两边相等,(3,- 4)是方程的解,所以点M1在这个圆上;左右两边不等,)2 ,52( 不是方程的解,所以M2不在这个圆上.xy51M2M要点:1.掌握证明方程是某曲线的方程的方法:要证明两个命题都成立.2.检验点是否在曲线上的方法:点的坐标是否适合曲线的方程. 把M2的坐标代入方程 , 25yx22O 练习.如果点 在方程为 的曲线 上,则sin=_ )cos,(sinA0y2x32解:因为点在曲线上,所以点的坐标适合方程. 所以: 0cos2sin3202sin3sin22)2(sin21sin舍去 练习C1. 根据方程F,自己构造曲线C,使曲线C满足该题所 提出的要求. .已知方程F : 构造曲线C,使曲线C上的点 都满足方程F,而满足方程F的点不全在曲线C上.已知方程F: 构造曲线C,使曲线C上的 点不全满足方程,而满足方程的点都在曲线C上.已知方程F: 构造曲线C, 使满足方程F的点都在曲线C上,且曲线C上的点 都满足方程F.1xy 0 xy0)1yx)(1yx(22 练习C.已知方程F : 构造曲线C,使曲线C上的点 都满足方程F,而满足方程F的点不全在曲线C上.1xy 解.如图:构造曲线C为双曲线x1y xy的一支,则满足曲线上的点全满足方程,而满足方程的点不全在曲线C上.(或在 满足方程的所有点中挖掉一部分点)x1y O 练习C.已知方程F: 构造曲线C,使曲线C上的 点不全满足方程,而以方程的解为坐标点都在曲线C上.0 xy解:. 构造的曲线C是抛物线2xy yx0 xyxy (或另外增加一条曲线) . 则曲线C上的点不全满足方程F,而以方程F的解为坐标的点都在曲线C上(即在方程的曲线上增加了一些点或另外的曲线). O2xy 练习C.已知方程F: 构造曲线C, 使满足方程F的点都在曲线C上,且曲线C上的点 都满足方程F.0)1yx)(1yx(22解:. 构造的曲线C由以原点为圆心,以1为 半径的圆和直线01yx 组成.则满足方程的点都在曲线C上,且曲线 C上的点都满足方程F. 学习小结.曲线与方程的关系: ()曲线上的每一点的坐标都满足方程; ().以方程的解为坐标的点都在曲线上.才称曲线为方程的曲线,方程为曲线的方程.如何证明、判断曲线是方程的曲线，方程是 曲线的方程和点与曲线的关系. .点、曲线、方程之间的内在联系.点、曲线、方程间的关系 几何 代数 点 点的坐标 满足几何条件满足代数条件 曲线 方程点、曲线、方程间的关系 几何 代数 点 点的坐标 满足几何条件满足代数条件 曲线 方程
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